Stat jeu de tirage

[Raz]

J'ai un petit jeu en ligne et je suis incapable de savoir s'il est rentable (= combien ça coût l'obtention d'un bon khado, ou même mieux 2 !).

En voilà le principe :
C'est un jeu de pioche. Dans un sac il y a 40 petits cailloux.

Il y a 4 couleurs de cailloux : 10 noirs, 10 blancs, 10 rouges et 10 verts.

Pour chaque série de couleur, les cailloux supportent des points : 4 cailloux ont 1 point, 3 cailloux ont 2 points, 2 cailloux ont 3 points et 1 seul caillou a 4 points.

Vous piochez dans le sac 4 cailloux aléatoirement. Votre but est de faire des combinaisons. Vous pouvez faire un deuxième tirage en échangeant certains cailloux. Vous piochez alors le nombre de cailloux à échanger avant de remettre les indésirables dans le sac.

Vous avez le droit à un troisième tirage, se déroulant de la même manière que le deuxième tirage.

Vous n'êtes pas obligé de faire votre 2e tirage si votre 1e tirage vous convient. De même, vous n'êtes pas obligé de faire votre 3e tirage si votre 2e tirage vous convient. A tout moment, vous pouvez choisir de valider la partie.

Votre gain varie en fonction de la combinaison réalisée :

4 cailloux supportant 1 point mais de couleur différente : 1 mise
4 cailloux supportant 2 points : 3 mises
4 cailloux supportant 3 points : 10 mises
4 cailloux supportant 4 points : 2 bons Khàdõ
4 cailloux de la même couleur : 3 mises
une série de 4 cailloux (1-2-3-4) de couleurs dépareillées : 1 mise
une série de 4 cailloux (1-2-3-4) de la même couleur : 6 mises
4 cailloux supportant 1 point et de la même couleur : 1 bon Khàdõ

Merci à ceux qui s'y connaissent en proba de me dire environ combien de fois je dois miser pour obtenir 2 bons au total (2 direct ou 1+1)

[lyceen95]

La probabilité d'avoir 4 cailloux de 4 points, direct, sans 2ème ni 3ème tirage, c'est 24/(40*39*38*37), soit 1/91390.
Avec la possibilité de faire un 2ème ou un 3ème tirage, c'est en gros 1 chance sur 20000 ou 25000 de gagner.

La probabilité d'avoir 4 cailloux de 4 points et de la même couleur, c'est 4 fois plus.

[GaBuZoMeu]

Avec la possibilité de faire un 2ème ou un 3ème tirage, c'est en gros 1 chance sur 20000 ou 25000 de gagner.

Hum, pas trop d'accord. Je dirais plutôt, en faisant les deux échanges auxquels on a droit, un peu moins de 8 chances sur 10 000 de gagner. Mais peut-être lycéen95 n'avait pas bien compris le mécanisme du jeu :

Vous pouvez faire un deuxième tirage en échangeant certains cailloux. Vous piochez alors le nombre de cailloux à échanger avant de remettre les indésirables dans le sac. Vous avez le droit à un troisième tirage, se déroulant de la même manière que le deuxième tirage.

Mon calcul (explications sur demande) :

Code: Tout sélectionner

PremierTirage=\
vector([binomial(4,i)*binomial(36,4-i)/binomial(40,4)\
                      for i in range(5)])

Echange=\
matrix([[binomial(4-i,j-i)*binomial(32+i,4-j)/binomial(36,4-i)\
                for i in range(5)] for j in range(5)])

(Echange^2*PremierTirage)[4].n(12)

Résultat : 0.000792

[lyceen95]

Je pense qu'on s'est bien planté tous les 2.

Le déroulement du jeu est en fait le suivant :
On tire 4 cailloux.
On tire 4 cailloux supplémentaires.
On rejette 4 cailloux de son choix.
On tire 4 cailloux,
On regarde si on a une combinaison gagnante.

En fait, on tire systématiquement 8 cailloux, on en rejette 4, on en tire 4 (donc éventuellement on retombe sur un ou plusieurs cailloux qu'on vient de rejeter), et on regarde si on a une combinaison gagnante.

Si on modifie un peu la règle du jeu, le calcul théorique est très simple.
La modification est : quand on rejette les 4 cailloux, on ne les rejette pas dans l'urne, mais dans la poubelle. Et la seule combinaison gagnante est la combinaison qui rapporte 2 cadeaux. Dans ce cas, le jeu revient à tirer 12 cailloux, et voir si on a cette combinaison de 4 cailloux gagnants.

La probabilité de tirer les 4 cailloux qui ont les 4 points est alors de 0.0054. C'est à dire qu'on gagne 2 lots environ 1 fois toutes les 180 parties.

Avec la vraie règle, la probabilité de gagner est un peu plus faible, parce qu'on risque de tirer à nouveau un caillou qu'on avait rejeté. Le calcul théorique est plus compliqué. Une simulation montre qu'on gagne ce lot double environ une fois sur 213.

Dans cette simulation, je joue comme stratégie : 'je veux gagner le lot double systématiquement, il n'y a pas d'autre combinaison gagnante que d'avoir les 4 cailloux avec 4 points'.

Avec la variante complète (4 possibilités de gagner 1 cadeau en plus de la possibilités de gagner 2 cadeaux), une simulation donne : Au bout de 1 000 000 de parties, on marque environ 26500 cadeaux
Il faut donc en moyenne 75 tirages pour avoir 2 cadeaux

[GaBuZoMeu]

Non, lycéen95, il ne faut pas inventer ! Tu t'es encore trompé dans la lecture de la règle qui me semble pourtant claire :

Vous pouvez faire un deuxième tirage en échangeant certains cailloux. Vous piochez alors le nombre de cailloux à échanger avant de remettre les indésirables dans le sac. Vous avez le droit à un troisième tirage, se déroulant de la même manière que le deuxième tirage.

La stratégie visant à obtenir les 4 cailloux de valeur 4 est claire : on échange à chaque fois les cailloux de valeur plus petite que 4.

[lyceen95]

On pioche le nombre de cailloux de son choix, on les prend en main, et on rejette des cailloux pour n'en garder que 4.
A-t-on le droit de rejeter certains des cailloux qu'on vient de prendre ? C'est un peu ambigu.

[GaBuZoMeu]

M'enfin ?? Tu tords ce qui est écrit. Quel serait alors l'intérêt de décider le nombre de cailloux à échanger ? On en prendrait systématiquement quatre, bien sûr !
Il est clair que le procédé est le suivant :
On écarte un certain nombre de cailloux parmi les quatre en main (les cailloux qu'on décide d'échanger), et on pioche pour les remplacer. Une fois la pioche faite, on remet les écartés dans le sac.

[lyceen95]

Non, ce n'est pas ça.
On peut hésiter entre 2 règles, mais pas celle-ci.

règle 1 : celle que je décrivais
règle 2 : j'annonce le nombre N de cailloux que je souhaite changer. Je tire N cailloux, puis au vu des cailloux tirés, je choisis ceux que je rejette. Ceux que je rejette étant forcément parmi ceux que j'avais en main au début.

Les cailloux que j'ai tirés peuvent donc modifier mon choix : j'avais un as de chaque couleur, je n'ai pas à décider lequel je garde et lesquels je jette, je tire 3 cailloux, et ensuite je décide ce que je garde.

C'est vrai que cette règle 2 est plus 'consistante' que celle que j'ai testée.

[GaBuZoMeu]

Je vois que tu fais preuve d'imagination pour interpréter la règle autrement que ce qu'elle signifie. À ta guise, je n'insiste plus.

[fatal_error]

Vu que le jeu ressemble au poker/yamz, ca me parait pas deconnant de choisir combien de cailloux je pioche, de regarder ma main additionnee des k cailloux tirés puis de reposer k cailloux (parmi les 4+k)

Dans vos approches, je pense que vous omettez le fait quon peut gagner des mises (que je pense gratuites et qui permettent de "rejouer")

[GaBuZoMeu]

Vu que le jeu ressemble au poker/yamz, ca me parait pas deconnant de choisir combien de cailloux je pioche, de regarder ma main additionnee des k cailloux tirés puis de reposer k cailloux (parmi les 4+k)

Encore une fois, ce n'est pas ce que dit la règle, et c'est complètement déconnant parce que
1°) Qui serait alors assez con pour ne pas prendre systématiquement le maximum pour k ?
2°) Au jeu de yamz justement, on reprend d'abord les dés dont on ne veut plus pour les rejouer ! Ta comparaison avec ce jeu va donc en fait contre ton interprétation.

Bon, je m'énerve, mais c'est énervant de voir quelqu'un normalement raisonnable employer des arguments qui ne tiennent pas debout. Je ne devrais pas.

Allez, bon réveillon !

[fatal_error]

Ui pas de soucis je verrai bien l'étendue des dégats à jeun.

Bon réveillon!

Edit, oui pour le maximum pour k...

[Raz]

Je confirme pour plus de clarté :

- on pose 1 mise
- on pioche 4 cailloux
- on choisit entre
a) garder sa pioche
b) échanger 1 à 4 cailloux... et vu qu'on pioche d'abord avant de rendre les cailloux indésirables, on est sûr de ne pas reprendre un caillou qu'on avait déjà
- on choisit de nouveau entre
a) garder le résultat de sa deuxième pioche
b) échanger 1 à 4 cailloux
- stop

[GaBuZoMeu]

Tu ne lèves pas tout à fait l'ambiguïté que voient nos amis à l'imagination fertile.

Je prétends qu'on écarte d'abord un certain nombre de cailloux parmi les quatre qu'on a en main (sans les remettre dans le sac), puis qu'on tire dans le sac un nombre de cailloux égal au nombre de cailloux écartés qui complètent notre main à quatre, et qu'ensuite les cailloux écartés sont remis dans le sac.

Lycéen95 a imaginé qu'on annonçait d'abord un nombre k (inférieur ou égal à quatre) de cailloux qu'on veut remplacer, sans écarter de cailloux, puis qu'on tire dans le sac k cailloux et puis qu'en fonction de ce qu'on a tiré on choisit parmi les quatre cailloux qu'on avait en main les k qu'on remet dans le sac.

Il y a aussi la variante de fatal_error (qui fut aussi un temps celle de lycéen95) : on annonce d'abord un nombre k (inférieur ou égal à quatre) de cailloux qu'on veut remplacer, sans écarter de cailloux, puis on tire dans le sac k cailloux et puis en fonction de ce qu'on a tiré on choisit parmi les 4+k cailloux sortis du sac les k qu'on remet dans le sac.

Si on prend modèle sur le jeu de yams, c'est bien sûr mon interprétation qui est la bonne. Tu confirmes ?
Ce que je dis, c'est qu'on choisit quels sont les cailloux indésirables parmi les quatre qu'on a en main avant de piocher dans le sac pour les remplacer. De même qu'au yams on choisit les dés qu'on relance.