Salut,
Pour la question 1 : tu dois trouver une fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
qui quand tu lui donnes comme argument
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_n)
, te donne comme image
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?4-\dfrac{2}{3}U_n)
.
Pour la question 2 : quand tu auras ta fonction, on te demande juste de tracer sa représentation graphique ainsi que la droite d'équation
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y=x)
.
Pour la question 3 : normalement tu as vu cette méthode de construction des termes d'une suite définie par récurrence, mais on peut te l'expliquer en bref.
Place sur l'axe des abscisses
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_0)
. Étant donné que quand tu donnes en argument à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
un certain terme de la suite, elle te donne en image le prochain terme, le processus de construction est très simple.
Graphiquement, pour trouver
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
, il te suffit de tracer la droite verticale coupant l'axe des abscisses en
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_0)
. L'intersection de cette droite avec la courbe de la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
donne le point dont
l'ordonnée représente
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
. Mais comme on a décidé de représenter les termes de notre suite sur l'axe des abscisses, il faut désormais plaçer
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
sur l'axe des abscisses. C'est là que la droite que tu as traçé à la question 2 te sera utile. Il te suffit de traçer l'horizontale coupant l'axe des ordonnées en
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
puis de trouver l'intersection de cette horizontale avec la droite
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y=x)
. Enfin, tu dois trouver l'abscisse de ce point ce que tu dois savoir faire. Tu as ainsi obtenu
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
sur l'axe des abscisses.
Le processus de construction de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_2)
est identique sauf qu'il faut désormais remplaçer
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_2)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_0)
par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_1)
.
Pour la question 4 : résous l'équation
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?U_{n+1} = U_n)
. Tu peux aussi trouver cette valeur graphiquement en remarquant un comportement particulier du processus de construction de la question 3.