Exercice dans l'arithmétique dans Z

[zaira]

bonjour mes amis
pouvez vous m 'aider dans un exercice
soient a et b deux entiers naturels non nuls tel que PGCD(a²:b²)=1 et ((a+b)) est impair
monter que PGCD ( a²+b² ;; a+b)

[zaira]

monter que pgcd ( a² +b² ; a+b)=1

[capitaine nuggets]

Salut !

Je ne suis pas un expert en arithmétique mais je trouve que . Mais à aucun moment je n'utilise le fait que , donc soit je suis rouillé, soit cette hypothèse est inutile...

[zaira]

j'ai pas compris
pourquoi pgcd (a²+b²;a+b)=pgcd (2ab;a+b)??

[aviateur]

Bonjour
rk: pgcd(a^2,b^2)=1 implique pgcd(a,b)=1

Soit p un nombre premier qui divise à la fois a^2+b^2 et a+b. Donc il divise a(a+b)=a^2+ab et aussi
a^2+b^2-(a^2+ab)=b(b-a).
Par symétrie on obtient aussi p divise a(b-a).
On a donc p|a(b-a) et p|b(b-a).
Supposons que p divise a, il ne divise pas b donc il divise b-a donc b aussi. Alors p=1.
Par symétrie p divise b va conduire à p=1.
Alors p ne peut que diviser b-a . Mais il divise a+b donc 2b et et 2a. D'après ce qui précède on ne avoir que p=2.
Mais 2 divise a+b et a+b est impair ça colle pas alors p ne peut pas être égal à 2.
Finalement p=1. C.Q.F.D

[zaira]

merci beaucoup