Taylor

[Deura]

Bonjour à tous !
Durant ce merveilleux week-end, un obstacle vint se dresser !

Soit , calculer et à l'aide de la formule de Taylor.

Pour moi, la formule de Taylor permet de faire des développements limités, en décomposant une fonction pour en faire un polynôme. Mais là, on nous demande de trouver une dérivée n-ième de P(X).

Je ne vois pas comment appliquer la formule de Taylor... Elle s'écrit P(X) = qqchose, or on cherche une dérivée, pas une fonction.

Merci pour votre grande aide et bonne journée !

[rog974]

Bonjour.

Pour la première question, on dérive fois un polynôme de degré . La dérivée des monômes de degrés strictement inférieurs à vaut zéro et la dérivée du monôme de degré est .

Pour la deuxième, on peut voir que et penser à la multiplicité de la racine 1 de .

[Mimosa]

Bonjour

La formule de Taylor donne un développement limité sous la forme un polynôme plus un reste. Mais les dérivées successives d'une fonction polynôme sont des polynômes aussi donc la formule de Taylor est exacte.
On trouve pour un polynôme de degré et un point

[Deura]

Merci beaucoup pour vos réponses rapides

Mais je ne comprends pas comment on trouve 2n! . Je comprends que tous les monômes de degré inférieur soient nuls.
Cela signifie que la dérivée n-1ème donne 2n!X Comment est-ce possible, puisque la formule de Taylor indique que le n factoriel est en dénominateur ?

Pour la deuxième question, on sait alors que 1 est une racine d'ordre n de Pn. Mais qu'est-ce que cela nous indique sur la dérivée n-ième ?

Excusez moi pour cette deuxième série de question, mais je ne comprends pas la méthode a employer.

Merci pour votre attention et bonne journée

[Ben314]

Salut,

On trouve pour un polynôme de degré et un point

Si tu part avec ça comme "formule de Taylor", ben forcément que tu va pas y arriver....

Si on part bêtement (*) de avec alors :

Bref, absolument toutes les formules dites "de Taylor", elle commencent par du


Et ici, concernant la première question, le fait que (avec des termes de degré <2n ensuite), ça signifie que donc que .
Et ici, on peut pas dire que la formule de Taylors soit bien utile : partant de , tu en déduit que ; ; ... etc
Et, au final, ça te donne (tout les autres termes ont disparu) donc bien évidement

(*) NE JAMAIS OUBLIER de "partir bêtement" de petit cas particulier pour voir si on a pas écrit une énorme boulette...

[Deura]

Merci beaucoup Ben314 ! Ton explication claire et précise m'a permis de comprendre la méthode