Suite arithmétique et trigonométrie

[mylene]

Bonjour, je suis en Terminale S et j'aurais besoin d'aide pour un exercice en mathématiques.
l'énoncé est:
1- Résoudre dans R l'équation 2x^3 - 2x^2 - x + 1 =0
2- Trouver tous les réels t ∈ ] -π; π [ tels que cos(t), cos (2t) et cos (3t) soient dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite arithmétique strictement croissante. ( on supposera que pour tout réel t ,
cos (3t) = 4cos^3(t)- 3cos (t) ).

Pour le 1 je n'est aucune idées de comment faire, et pour le 2 j'ai juste trouvée cos (2t) = 2cos^2 (t) -1 mais je ne sais pas si c'est utile.
Si quelqu'un pourrait m'aider à comprendre je le remercie d'avance.

[Lostounet]

Salut,

On doit essayer de factoriser 2x^3 - 2x^2 - x + 1 =0

Astuce: elle est équivalente à 2x^2(x-1) - (x-1)*1 = 0

[Lostounet]

Bonjour, je suis en Terminale S et j'aurais besoin d'aide pour un exercice en mathématiques.
l'énoncé est:
1- Résoudre dans R l'équation 2x^3 - 2x^2 - x + 1 =0
2- Trouver tous les réels t ∈ ] -π; π [ tels que cos(t), cos (2t) et cos (3t) soient dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite arithmétique strictement croissante. ( on supposera que pour tout réel t ,
cos (3t) = 4cos^3(t)- 3cos (t) ).

Pour le 1 je n'est aucune idées de comment faire, et pour le 2 j'ai juste trouvée cos (2t) = 2cos^2 (t) -1 mais je ne sais pas si c'est utile.
Si quelqu'un pourrait m'aider à comprendre je le remercie d'avance.

Pour la question suivante, on sait que cos(t)+R=cos(2t) avec R la raison de cette suite arithmétique que l'on ne connaît pas. Aussi:
cos(2t)+R= cos(3t)

On peut éliminer R:
R=cos(2t)-cos(t)
Et R=cos(3t)-cos(2t)

Donc il s'agit de résoudre:
cos(3t)-cos(2t)=cos(2t)-cos(t)

Et là tu peux essayer de tout exprimer en fonction de cos(t) ce que tu as déjà fait pour cos(2t).

[mylene]

Si j'ai bien compris pour le 1 on dois factoriser par x c'est ça?

[Lostounet]

Si j'ai bien compris pour le 1 on dois factoriser par x c'est ça?

Tu veux dire par (x-1)....

[mylene]

oups, alors pour le 1 ce serait 2x^2 (x-1) - (x-1) x1=0
<=> (x-1) (2x^2 + 2x +1) =0

ce qui nous donne soit (x-1) =0 soit (2x^2+2x+1) = 0


Et pour le 2 je crois m'être embrouiller car je trouve : cos (3t) - cos (2t) = cos (2t) - cos (t)
<=> 4cos^3 (t) - 3 cos (t) - 2 cos^2 (t) -1 = 2 cos ^2 (t) -1 - cos (t)
et là je bloque.

[Lostounet]

Oui mais tu n'as pas résolu (2x^2+2x+1) = 0

Ensuite, pour 2) si tu ramènes tout du même côté mais avant attention ! -cos(2t)=-(2cos^2(t)-1)=-2cos^2(t)+1
Donc c'est plutôt:
4cos^3 (t) - 3 cos (t) - 2 cos^2 (t) +1 = 2 cos ^2 (t) -1 - cos (t)

Donc là on ramène à gauche
4cos^3(t)-4cos^2(t)-2cos(t)+2=0
En divisant par 2:
2cos^3(t)-2cos^2(t)-cos(t)+1=0

Maintenant pose X=cos(t)... que devient cette équation? On la connaît!

[mylene]

(2x^2+2x+1) étant un polynôme du second degré on calcule Δ= b^2 - 4ac
= 4 -8
= -4
L'équation n'admet donc pas de solution réelle.
Mais en quoi résoudre ce polynôme nous permet de répondre à la question?

Ah oui pour le 2 si on remplace cos (t) par x ça fait 2x^3 - 2x ^2 -x +1=0
Et donc est-ce que ça revient à faire la même chose que dans le 1 ? Mais je ne vois pas comment on peut trouver les t ∈ ]−π;π[ en remplaçant les cos par des x.

[Lostounet]

J'avais pas fait gaffe mais je me rends compte que tu as mal factorisé.

2x^2(x-1) - (x-1)*1
= (x-1) [2x^2-1]

Il faut résoudre 2x^2-1=0
Je ne vois pas ce que tu as fait pour trouver 2x^2+2x+1 ...

Donc maintenant oui l'idée est de poser X=cos(t) donc X est une des solutions de l'équation ... donc on connait les solutions de l'équation. Par exemple X=1 en est une, donc on cherche t dans -pi ; pi tel que cos(t)=1
On résout à nouveau cette équation d'inconnue t.

[mylene]

Donc pour le 1 2x^2 - 2x^2 - x + 1=0
=> 2x^2 (x-1) - (x-1) x 1=0
=> (x-1) [ 2x^2 +x -1 ] =0
=> 2(x-1) (x^2 - (√1/2)^2 ) =0
=> 2 ( x-1) ( x - 1/√2) ( x+1/√2)=0

x et donc égale soit à 1 à 1/√2 ou -1/√2

[mylene]

Et pour le 2 2 cos (t)^3 - 2 cos (t) ^2 - cos (t) +1 =0
on pose cos (t) =X ça donne 2x^3 -2x^2 - x +1 =0
π
on trouve alors les mêmes résultats que pour le 1, cos (t) =1 <=> t =0 [2π]
ou cos (t) = 1/ √2 = cos π/4 <=> t = π/4 [2π]
ou t = -π/4 [2π]

[Lostounet]

Donc pour le 1 2x^2 - 2x^2 -
x + 1=0
=> 2x^2 (x-1) - (x-1) x 1=0
=> (x-1) [ 2x^2 +x -1 ] =0

Pourquoi il y a le +x dans la parenthèse ?

Sinon c'est à peu près correct sauf qu'on ne travaille pas ici modulo 2pi: tu sais que t appartient à un certain intervalle bien précis donc la solution attendue est une valeur de t.

[mylene]

J'ai dû faire une erreur d'inattention.

Si on ce place dans l'intervalle ]-π; π[ les valeurs de t sont -√2/2 et √2/2 ?

[Lostounet]

J'ai dû faire une erreur d'inattention.

Si on ce place dans l'intervalle ]-π; π[ les valeurs de t sont -√2/2 et √2/2 ?

En fait il y a un problème: tu confonds les nombres et leurs cosinus !
Tu cherches t dans ]-π; π[ tel que cos(t)=1
Donc t=0 est la seule possibilité.

Ensuite tu cherches t dans ]-π; π[ tel que cos(t)=racine(2)/2
Et là il y a deux possibilités (pas seulement une seule)
Qui sont t= pi/4 et t=-pi/4 (regarde le cercle trigonométrique)

Maintenant tu dois trouver les deux valeurs de t tel que cos(t)=-racine(2)/2

Il y a en tout 5 solutions... ce sont les valeurs de t qu'on cherche maintenant donc pas celles de X.

[mylene]

Ah oui d'accord, les valeurs de cos(t) = -√2/2 sont -3π/4 et 3π/4

donc les solutions sont 0; π/4; -π/4; 3π/4 et - 3π/4

[Lostounet]

Ah oui d'accord, les valeurs de cos(t) = -√2/2 sont -3π/4 et 3π/4

donc les solutions sont 0; π/4; -π/4; 3π/4 et - 3π/4

C'est ça...

[mylene]

Merci beaucoup de m'avoir aidé à comprendre et pour votre patience.

[capitaine nuggets]

Salut !

Attention ! Ce n'est pas encore fini :

2- Trouver tous les réels t ∈ ] -π; π [ tels que cos(t), cos (2t) et cos (3t) soient dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite arithmétique strictement croissante.

Il faut voir, parmi les cinq valeurs de t trouvées, quelles sont celles qui vérifient cos(t) < cos(2t) < cos(3t)

Par exemple, pour t=0, on a bien que cos(t), cos(2t) et cos(3t) forment, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique mais néanmoins cos(t)=cos(2t)=cos(3t)=1 : il n'y a pas la stricte croissance demandée

[Lostounet]

Ah oui ! J'ai pas fait attention. Bien vu Capitaine.

Il faut donc penser à justifier si les solutions conviennent... mais ils font chier. Donc le plus simple est de calculer pour chaque t le cos(t), cos(2t) cos(3t) et voir si effectivement cos(t)<cos(2t)<cos(3t).


Une méthode alternative serait de résoudre la double inéquation cos(t)<cos(2t)<cos(3t) mais ça dépasse le cadre de l'exo... et c'est un peu plus difficile.

Donc parmi les 5 solutions seules deux conviennent (3pi/4 ou -3pi/4) si on veut répondre exactement...

[mylene]

qu'elle est la méthode de calcul, c'est un encadrement?