Intégration système équations différentielles premier ordre

[art903]

Bonjour,

je me tourne vers vous car je bute sur une intégration toute bête, mais je ne vois pas où est mon erreur. C'est en lien avec la théorie d'Avrami dans les transformations de phases. Je calcule des fractions réelles à partir de fractions dites étendues (exposant "e" présent pour les reconnaître, aucune puissance là-dessous) (obtenues en supposant que les phases croissent les unes dans les autres). Toutes ces fractions dépendent du temps. Je connais donc les fractions étendues à n'importe quel instant, pas les réelles. Je veux l'expression de ces dernières.
J'ai le système d'équations :



J'intègre la première, et j'insère dans la deuxième :



J'obtiens comme solution pour : . Elle serait fausse, et je devrais obtenir : .

Quelqu'un pourrait me dire où je fais mon erreur d'intégration ?
Merci d'avance.

[art903]

Bonjour à tous,

si jamais le post précédent est un peu confus, voici le système réécrit :



Ce qui donne :

et donc :


Quel serait le résultat de l'intégration pour u(t) ? J'ai mais apparemment ce ne serait pas correct.
Merci d'avance !
Bonne journée.

[Ben314]

Salut,

J'ai le système d'équations :



J'intègre la première, et j'insère dans la deuxième :



J'obtiens comme solution pour : . Elle serait fausse, et je devrais obtenir : .

Quelqu'un pourrait me dire où je fais mon erreur d'intégration ?
Merci d'avance.

Déjà, quand tu "intègre" la première équation différentielle, ça donne plutôt où est une constante arbitraire (étonnamment appelée... constante d'intégration...) et qu'on peut éventuellement déterminer à l'aide de conditions initiales du système (ce qui s'appelle un "problème de Cauchy")

Ensuite, quand tu reporte dans la deuxième, ça donne .
- L'équation homogène associée est qui a pour solutions avec
- Puis la méthode de variation de la constante consiste à écrire avec et, si on injecte ça dans , ça donne c'est à dire .
Sauf que ça s'intègre pas de façon "triviale" donc on peut pas écrire les solution générales de sans faire justement intervenir une primitive de ce truc.

Sinon, ben concernant le "où est ton erreur", ben vu que tu explique pas comment tu as fait pour "obtenir comme solution blablabla", ben je vois pas comment on pourrait te dire où est "l'erreur". Le seul truc de clair, c'est que c'est faux vu que si on injecte ça dans l'équation, ben ça marche clairement pas...

P.S. En regardant d'un peu plus près ta solution, il semblerait que tu as intégré en faisant comme si était une constante, ce qui n'est (à priori) pas le cas.

[art903]

Bonjour, merci pour la réponse.
Ma constante d'intégration vaut 1. Lorsque alors , et pour dans ce cas .
J'avais posé effectivement comme constante. De là j'avais donc :
. Et j’intégrais comme pour un cas de type . Ce qui n'est pas valable puisque dépend du temps.
Le seul côté valable est numérique : dans un cas bien particulier, ma fonction solution me donne le bon résultat. Mais ça ne tiendra pas longtemps.

Tout cela remonte un peu, je dois bien avouer que j'avais complètement oublié la méthode de variation des constantes. Comment devrais-je procéder pour arriver à ?

[Ben314]

La "méthode standard" pour les équation linéaires du premier ordre donc de la forme où et sont des fonctions de c'est :
(1) De considérer l'équation dite "homogène" associée, c'est à dire dont les solutions sont les où est une primitive de et une constante arbitraire.
(2.a) Soit on dispose d'une solution particulière "évidente" de et on écrit que, vu que , l'équation équivaut à donc à .
C'est par exemple la méthode la plus simple pour ton équation qui a comme solution "évidente" et il suffit d'ajouter une solution quelconque de l'équation homogène pour avoir toute les solutions.

(2.a) Soit on ne voit pas de solution "évidente" et on pose fait le changement de variable c'est à dire (où est bien sûr une fonction de ).
On a alors et donc :

Et il n'y a "plus qu'à" trouver une primitive de pour en déduire que les solution sont les donc les .
Sauf que le "plus qu'à" (trouver une primitive), c'est bien beau dans la théorie, mais dans la pratique, on ne sait souvent pas exprimer (avec les fonctions usuelles) de primitive de (d'un autre coté, assez souvent, on ne sait pas non plus trouver de primitive de , mais dans ton cas, c'est évident)