Equations différentielles du premier ordre

[lefouineur]

Bonjour à tous,

je suis de nouveau bloqué par l'intégration de deux équations différentielles:

1)xy'+2y=6x^4 résolvons l'équation associée sans second membre:







Ensuite pour la solution particulière, je ne sais pas faire....

2) x(x-1)y'-(2x-1)y+x^2=0 Résolvons l'E A S S M :





Mais c'est faux...

Merci d'avance pour votre aide Cordialement lefouineur

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

1) Tu ne connais pas la méthode de variation de la constante ? Ni celle du facteur intégrant ?

2) Qu'est-ce qui est faux ?

PS. Black Jack va peut-être faire l'exercice à ta place. Il est coutumier du fait.

[lefouineur]

Merci GaBuZoMeu pour ta réponse rapide

Je connais la méthode de variation de la constante mais pas celle du facteur intégrant.

Dans la seconde équation je pense que ma méthode n'est pas bonne car elle ne conduit pas au bon résultat: y=x*(K*x-K+1)

Cordialement lefouineur

[catamat]

Bonjour à tous,



Mais c'est faux...

Bonjour

Non c'est juste
On obtient

D'où y=K(x²-x) puis on fait varier la constante ou on ajoute la solution particulière...

[GaBuZoMeu]

Puisque tu connais la méthode de variation de la constante, tu n'as qu'à l'appliquer dans les deux cas.

[lefouineur]

Le second membre de l'équation 2) est -x² puis-je poser y=Phi(x)*-x² ?

[Black Jack]

Le second membre de l'équation 2) est -x² puis-je poser y=Phi(x)*-x² ?

Bonjour,

Les solutions de l'équation avec second membre = 0 (une équation a toujours 2 membres) sont y = k(x²-x)

Pour chercher une solution particulière de l'équation complète par la méthode de la variation de la constante, il faut remplacer le "k" par une fonction de x.
--> poser : y = phi(x) * (x²-x)

y' = ...

Tu remplaces y et y' par leurs expressions ci-dessus dans x(x-1)y'-(2x-1)y + x² = 0

Et après simplification tu devrais avoir phi'(x) = -1/(x-1)²

Et donc phi(x) = 1/(x-1) ... et une solution particulière est y = phi(x) * (x²-x) = x.(x-1)/(x-1) = x

...

[GaBuZoMeu]

PS. Black Jack va peut-être faire l'exercice à ta place. Il est coutumier du fait.

Bingo !

[Black Jack]

PS. Black Jack va peut-être faire l'exercice à ta place. Il est coutumier du fait.

Bingo !

Quant à une réponse telle que "Puisque tu connais la méthode de variation de la constante, tu n'as qu'à l'appliquer dans les deux cas."

Il est évident que la méthode n'est pas comprise par le demandeur même si il pense le contraire.

Donc à part faire du vent, les interventions de GaBuZoMeu n'apportent strictement rien ... et c'est malheureusement plus que récurrent.

Montrer comment faire dans un exemple (qu'il faut cependant conduire à bien) devrait aider le demandeur à comprendre et après résolution, il devrait pouvoir tester si il a enfin compris la méthode, en l'appliquant à l'exercice du début.

Mais tout cela dépasse la compréhension de certains. Bla Bla Bla

[tournesol]

GaBuZoMeu , je n'avais jamais pensé à utiliser la méthode du facteur intégrant pour une équa diff résolue en y' .
Je réservais cela pour l'intégration des formes différentielles , et en sachant qu'un des facteur intégrant les plus connus des physiciens est 1/T pour delta Q .
équivaut à
qui est de la forme Pdx+Qdy=0 (1)
Forme non fermée car
On cherche F(x,y) telle que la forme FPdx+FQdy soit fermée.
La recherche est dans ce cas plus simple si F est une fonction de x .
On montre alors que x est un facteur intégrant.
(1) est alors équivalent à , C constante .
On obtient la solution générale

[lefouineur]

Merci Black Jack et tournesol pour vos réponses rapides,

J'ai encore des difficultés pour conclure le calcul:

on pose y= Phi(x)*(x²-x) donc y'=Phi'(x)*(x²-x)+Phi(x)*(2x-1)

l'équation devient:

x*(x-1)*[Phi'(x)*(x²-x)+Phi(x)*(2x-1)]=(2x-1)*Phi(x)*(x²-x)-x²

Est ce que c'est bon jusque là?

Cordialement lefouineur

[Black Jack]

Merci Black Jack et tournesol pour vos réponses rapides,

J'ai encore des difficultés pour conclure le calcul:

on pose y= Phi(x)*(x²-x) donc y'=Phi'(x)*(x²-x)+Phi(x)*(2x-1)

l'équation devient:

x*(x-1)*[Phi'(x)*(x²-x)+Phi(x)*(2x-1)]=(2x-1)*Phi(x)*(x²-x)-x²

Est ce que c'est bon jusque là?

Cordialement lefouineur

Bonjour,

Est ce que c'est bon jusque là?

Oui.

Il faut alors simplifier en remarquant que x(x-1) = (x²-x) ...

Et tu devrais arriver à Phi'(x) = -1/(x-1)²

Phi(x) = ...

et donc une solution particulière est y = Phi(x)*(x²-x) = ...

[lefouineur]

Merci Black Jack pour ta réponse rapide,

Je n'arrive pas à obtenir Phi'(x)=-1/(x-1)² Je trouve Phi(x)=-x²/(x²-x)

Peux-tu me détailler le calcul

Merci d'avance Cordialement lefouineur

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Refais ton calcul de avec plus de soin. Tu as laissé tomber un facteur en route.

[Black Jack]

Merci Black Jack pour ta réponse rapide,

Je n'arrive pas à obtenir Phi'(x)=-1/(x-1)² Je trouve Phi(x)=-x²/(x²-x)

Peux-tu me détailler le calcul

Merci d'avance Cordialement lefouineur

@lefouineur
Tu as déjà trouvé ceci (en vert)

l'équation devient:

x*(x-1)*[Phi'(x)*(x²-x)+Phi(x)*(2x-1)]=(2x-1)*Phi(x)*(x²-x)-x²

(x²-x)*Phi'(x)*(x²-x) + (x²-x)*Phi(x)*(2x-1) = (2x-1)*Phi(x)*(x²-x) - x²

(x²-x)*Phi'(x)*(x²-x) = - x²
x(x-1) * Phi'(x)*x(x-1) = - x²
x²(x-1)² * Phi'(x) = -x²
Phi'(x) = -1/(x-1)²

Et donc Phi(x) = 1/(x-1)

[lefouineur]

Bonjour Black Jack et merci beaucoup pour ta réponse rapide et détaillée,

j'ai pu retrouver mon erreur: j'avais omis de multiplier par (x²-x) le deuxième terme entre crochets.

j'ai encore une dizaine d'exercices du mème type à faire, merci de m'avoir mis le pied à l'étrier!

Cordialement lefouineur