Dudier a écrit:Ok je crois que je vois ce que tu veux dire, contredis moi si j'ai tort ^^
L'ensemble des solutions d'un polynôme est l'ensemble des valeurs pour lesquelles le polynôme s'annule ( P(z) = 0)
=> ici :
Donc soit (z-i) = 0, soit le quelque chose...
Mais comme on ne connait pas le quelque chose, on cherche pour quelle valeure (z-i) = 0... ça me semble très complexe pour une simple division...
Euh ça me fait peur un peu ta façon de décrire les choses... ! On va reprendre doucement et proprement.
Rappel d'une époque lointaine:
Si tu as un nombre comme 10 et qu'on l'écrit comme produit de facteurs premiers, cela donne quoi?
. Si je te dis que 2 divise 10, cela voudra dire que
, non?
Ici c'est exactement pareil: P(z) = z^2 + z - iz - i est un polynôme. Je veux l'écrire comme produit de facteurs "premiers" (je mets entre guillemets car c'est pas exactement ça mais on n'a pas besoin de rentrer dans ces eaux).
Comme tu le vois, P(z) est sous forme développée (c'est une somme) et non pas factorisée (pas un produit donc)! Je dois donc trouver un moyen de le factoriser.
Je calcule P(i) et je trouve 0. Cela me donne une information précieuse: la forme factorisée de P on ne la connaît pas encore, mais on sait qu'elle est de la forme (z - i)*un autre polynome ! Pourquoi? Car quand tu résous P(z) = 0 en utilisant la forme factorisée, tu es sur que tu vas tomber sur "z - i = 0 " ou "polynome = 0" quand tu vas résoudre l'équation produit nul.
C'est comme si je te dis (x - 1)(x - 2) = 0 alors x = 1 ou bien x = 2.
Si je te dis que j'ai un polynôme P avec P(1) = 0, tu sais qu'il a une factorisation de la forme (x -1)*un autre polynôme.
C'est tout ce qu'il faut savoir ! Le fait que le quelque chose puisse valoir 0 on s'en fout: on te demande juste de dire si effectivement P(z) = (z - i)*polynome.
Et c'est vrai car P(z) = 0 a pour solution possible z = i.
Maintenant comment trouver ce quelque chose? 10 = 2*quelquechose... ben on fait 10/2 = quelque chose
Ici c'est pareil ! On doit faire la division euclidienne du polynôme P(z) par (z - i). Comme on a montré que (z - i) divise P(z) alors on sait que le reste de la division euclidienne de P(z) par (z - i) sera 0.
(C'est comme si je te disais de diviser 10 par 4, tu me dis 10 = 4*2 + 2 le reste 2 est non nul). Or comme 2 divise 10, tu as 10 = 2*5 + 0 (le reste est nul)).
Donc il suffit de poser et effectuer une division ! Dans 10 combien j'ai de "2" ? Ben.. 5
Une autre méthode (moins "fun") consiste à dire que P(z) est de degré 2, et (z - i) est de degré 1. Donc le "quelquechose" est de degré 1 aussi ! Donc de la forme (az + b).
Alors
Mais on sait que P(z) = z^2 + z - iz - i = 1*z^2 + z(1 - i) + (-i)
Cela veut dire que a = 1, (b - ia) = 1 - i
et (-i) = -ib
Donc a = 1, b=1 !
Alors en fait
donc (z + 1) divise aussi P(z). En effet P(-1) = 1 - 1 + i - i = 0