Comparaison de deux puissance

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un dm à faire mais j'ai du mal car je n'ai pas vraiment compris la leçon. Voici mon exercice :
Dans cet exercice on cherche à démontrer la propriété : pour tout n > ou égal à 4 : 2^n > ou égal à n^2
1. Etudier le signe de x^2-2x-1
2. En déduire que pour tout n > ou égal à 4 : 2n^2 > ou égal à n^2+2n+1
3. Montrer par récurrence que pour tout n > ou égal à 4 on a : 2^n > ou égal à n^2
Voici ce que j'ai fais :
1. delta = 8 soit 2 racines donc mon tableau fait : - + -
2. Mon professeur m'a dit que la 2 dépendait de la 1 car j'allais faire par récurrence, or du coup je ne vois pas trop comment faire pour cette question
3. Initialisation : n=4 soit 16 > ou égal à 16 donc la propriété est vraie pour n=4
Hérédité: Supposons que 2^n > ou égal à n^2 donc que 2^(n+1) > ou égal à (n+1)^2
Sachant que 2^(n+1)= 2*2^n or 2^n > ou égal à n^2 donc 2^(n+1) > ou égal à 2n^2 or (n+1)^2 = n^2+2n+1 donc 2n^2-(n+1)^2= 2n^2-n^2-2n-1 = n^2-2n-1 soit (n-1)^2-2 donc 2n^2 > ou égal à (n+1)^2
Cependant je trouve 2n^2 > ou égal à (n+1)^2 et non 2n^2 > ou égal à n^2 donc je sais pas si il y a une erreur quelque part et si tel est le cas je ne vois pas où elle peut être
Conclusion: la propriété est vraie puis elle est bien héréditaire. Donc pour tout n> ou égal à 4; 2n > ou égal à n^2
Merci d'avance pour votre aide et vos réponses, bonne journée !

[infernaleur]

Bonjour,
en effet pour la 2) si tu fais tout passer dans le membre de gauche qu'est-ce que tu remarque ?

Pour la 3) j'ai l'impression que tu ne sais pas ce qu'est un raisonnement par récurrence (la partie hérédité)
Déjà tu écris : "Supposons que 2^n > ou égal à n^2 donc que 2^(n+1) > ou égal à (n+1)^2"
Il faudrait écrire plutôt Supposons que 2^n > ou égal à n^2 ET MONTRONS QUE 2^(n+1) > ou égal à (n+1)^2
En effet tu suppose ta relation démontrée pour un certain rang n et le but c'est que tu le montre pour la rang d'après (n+1) .
Tu dois montrer que 2^(n+1) > ou égal à (n+1)^2 et non 2n^2> ou égal à n^2 !

[chacha778]

Bonjour, pour la 2 j'ai tout mis à gauche et ça me fait n^2-2n-1 > ou égal à 0 ? Je ne vois pas où tu veux en venir
Pour la 3 oui j'ai beaucoup de mal pour l'hérédité dans tout, pour le montrons que j'ai du oublier de le marquer pourtant je l'ai bien écrit sur ma feuille, je suis bien consciente du résultat que je dois avoir mais je ne vois pas où est mon erreur et du coup le raisonnement à avoir, merci de ta réponse

[infernaleur]

n^2-2n-1 > ou égal à 0 regarde la question 1 ^^

pour la 3 ) tout simplement je reprend ton début :
" Sachant que 2^(n+1)= 2*2^n or 2^n > ou égal à n^2 donc 2^(n+1) > ou égal à 2n^2"
Pour l'instant c'est parfait et tu y est presque !
En effet tu dois avoir 2^(n+1) > ou égal à (n+1)^2
Donc qu'est-ce qu'il te faut faire pour cela (regarde les questions d'avant)

[infernaleur]

"(n+1)^2 = n^2+2n+1 donc 2n^2-(n+1)^2= 2n^2-n^2-2n-1 = n^2-2n-1 soit (n-1)^2-2 donc 2n^2 > ou égal à (n+1)^2"

Pour justifier que 2n^2 > ou égal à (n+1)^2 c'est beaucoup plus simple si tu regarde les questions précédentes et c'est ce qui te permettras de conclure

[chacha778]

Et du coup pour la 2 c'est tout simplement n^2-2n-1 > ou égal à 0 ? On ne fait rien d'autre ? Vu qu'il faut que ce soit n > ou égal à 4 ?
Pour la 3 du coup je suis à 2^(n+1) > ou égal à 2n^2 vu le résultat final je pense qu'il ne faut pas toucher au membre de gauche mais pour le 2n^2 je ne vois pas trop comment faire, j'ai penser à le remplacer par l'équation obtenue dans la question 2 mais je ne sais pas si cela est logique ou totalement faux

[infernaleur]

Désolé pour le retard j'étais occupé,
Pour la 1) je n'avais pas fait attention mais tu t'es trompé
Les deux racines que tu as trouvés sont-elles 1+racine(2) et 1-racine(2)?
Attention dans ton tableau de signe ! Le coefficient directeur est positif donc c'est plutôt
+ - +

Pour la 2) on est d’accord que la question revient à résoudre n^2-2n-1 > ou égal à 0 ?
Or dans la 1) comme on a étudié le signe du polynôme x^2-2x-1 on sait que c'est positif sur les intervalle
]-l'infini, 1-racine(2)] et [1+racine(2),+l'infini[ (1+racine(2) fait environ 2.4) donc si tu prend x>4 t'auras évidemment x^2-2x-1> ou égal à 0.
Tu as compris ?

[chacha778]

Ce n'est pas grave, oui je trouve bien ces deux racines, ah oui en effet j'ai inversé les signes merci
Pour la 2 je comprend mieux maintenant pourquoi il me disait que la 2 découlait de la 1, 'est simplement une 'étude de signe' du moins une sorte de conclusion pour la question 2, merci pour ton aide
J'ai essayer de voir comment faire du coup pour la 3 mais j'en arrive toujours au même point et je ne comprend pas réellement, je voulais remplacer par l'équation de la question 2 mais je ne suis pas sur de moi du tout

[chacha778]

J'ai toujours eu un peu de mal pour les tableaux je confond souvent, pour x1 soit 1+ racine (2) vu que c'est négatif je fais + - - ? et pour la deuxième racine + + - ?

[infernaleur]

Pour trouver ton tableau de signe je te conseille ses méthodes :

I) si tu trouves les deux racines, ton polynôme peut se factoriser ainsi :
P(x)= a(x-x1)(x-x2) (a est le coefficient directeur et x1, x2 les deux racines )
Pour étudier le signe de P(x) tu étudie séparément les signes de (x-x1) et (x-x2) et tu résumes tout sa dans un tableau de signe. Dans ton cas, ton polynôme se factorise ainsi : P(x)= (x-(1+racine2))(x-(1-racine2))

x -l'infini 1-racine2 1+racine2 +l'infini
signe de (x-(1+racine2)) - - 0 +
signe de x-(1-racine2)) - 0 + +
signe de P(x) + 0 - 0 +

II) sinon tu trace le graphe sur ta calculatrice pour te rappeler quand est-ce que c'est croissant et décroissant

III) tu apprend que quand le coefficient directeur est positif le signe est + - +
Et quand le coefficient directeur le signe est - + -

J'espère avoir été clair ^^

[infernaleur]

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[chacha778]

Ah d'accord je comprend mieux, j'inversais toujours, merci pour l'explication ^^

[infernaleur]

Tu as compris la question 2) maintenant ?

[chacha778]

Oui j'ai compris la question 2, c'était simple enfaite c'est juste que j'ai pas eu la logique de suite mais oui la je comprend grâce à tes explications ^^
Par contre je bloque toujours pour la 3...

[infernaleur]

On récapitule :
On note P(n) la propriété suivante : "2^n > ou égal à n^2"

Initialisation : (n=0)
2^0=1
0^2=0
donc 2^0>=0^2 d'où l'initialisation

Hérédité: on suppose pour un entier n P(n) et on démontre P(n+1)
(je reprend ce que tu avais fait)
2^(n+1)=2*2^n
Or par hypothèse de récurrence 2^n>=n^2
Donc 2^(n+1)>=2*n^2

Mais d'après la question précédente 2n^2 > ou égal à n^2+2n+1
Donc on a
2^(n+1)>=2*n^2>=n^2+2n+1

Donc 2^(n+1)>=....
d'où l'hérédité.

Conclusion ....

[chacha778]

Je trouve que 2^n+1 > ou égal à 2n^2 > ou égal à (n+1)^2 ? Le 2n^2 ne gêne pas pour le raisonnement ?

[infernaleur]

si 3>2>1 alors 3>1 t'es d’accord ?
c'est la même chose ici 2^n+1 > ou égal à 2n^2 > ou égal à (n+1)^2
Donc 2^n+1 > ou égal à(n+1)^2

[chacha778]

Ah d'accord je comprend, merci beaucoup !