Repartation d'une gaussienne sur un carré

[Imra]

Bonjour,

Dans le cadre d'une étude sur les Lasers, je m’intéresse au faisceau gaussien, et en l’occurrence à la répartition de l’énergie d'un tel faisceau sur un surface définie.
Il m'arrive un problème probablement assez bête, mais n'ayant pas fais de maths depuis un certain temps (ahh ces physiciens :p), je bloque sur celui-ci.

L'idée est la suivante, je cherche à savoir la quantité d’énergie transmise par un faisceau gaussien à travers un diaphragme de forme carrée. J'ai réalisé les calculs suivants pour un diaphragme circulaire, et ceux-ci donne un résultats satisfaisant. Je n'arrive en revanche pas à passer de façon simple à un carré de longueur L. Je serai donc reconnaissant si quelqu'un pouvait me filer un petit coup de pouce !

Ci-joint les calculs réalisés pour le cercle : http://i.imgur.com/YNW4Ubo.jpg .(La partie w(z) n'a rien à voir avec les maths en elle-même.)

En esperant que mon explication soit claire ,

Cordialement

Imra'

[siger]

bonjour

remarque: tu dois integrer la fonction f sur la surface du diaphragme a partir d'un element de surface elementaire (integrale double)
la source gaussienne est supposée de symetrie circulaire

1- en coordonnees polaires
(diaphragme circulaire) a partir de l'element ds = (alpha)*r*dr
l'integration sur alpha de 0 a2pi donne une couronne d'"épaisseur" dr et reduit le calcul a une integrale simple

2- en coordonnees rectangulaires (diaphragme carré) l'element de surface est ds = dx*dy
et l'integration doit se faire sur chaque variable de 0 a L en introduisant dans la fonction intensité r² = x² +y²

donc passage de l'un a l'autre pas evident du tout

tout ceci evidemment en ne tenant pas compte des phenomenes de diffractions si le trou du diaphragme est petit et en supposant que toute l'energie du faisceau laser est contenue dans la tache d'Airy..........

[Imra]

Bonjour,

Merci pour cette réponse,

Effectivement je n'arrive pas à passer correctement de l'intégrale en dx/dy de [0:L],[0:L] à une intégrale en R/theta.

J'ai présenté le problème comme le passage par un diaphragrame mais en pratique c'est la répartition sur une surface qui m'interesse (j'ai présenté ça comme ça pour éviter les problématique de reflectivité de la surface etc qui en sont qu'accessoire), donc les phénomène de diffraction ne sont pas à prendre en compte.

Le problème c'est que d'après ce que j'ai compris l'intégrale gaussienne est par définition sans primitive, j'ai un peu essayé de checker via la fonction Erreur sans grand succès jusqu'à présent.

[siger]

re

l'eclairement d'une surface par un faisceau laser( repartition circulaire gaussienne de l'intensite) est un probleme qui a occupe beaucoup de chercheurs dans les annees 1965-1970 : ecriture thermique via un faisceau laser sur un materiau thermomagnetique ou ablatif, pour des memoires optiques, sujet sur lequel de nombreuses publications ont ete faites a l'epoque sur "Applied physics" ou " Physical revue"

si ma memoire est bonne la tache centrale obtenue ( tache d'Airy) contient environ 80% de l'energie et se trouve entouree d'anneaux
la repartition des anneaux par rapport au centre est definie par celle des zeros d'une fonction de Bessel du deuxieme ordre Ber(r)
.......
ce qui semblerait vouloir dire que l'integration peut se faire
malheureusement ma memoire ne me permet pas d'etre plus precis
......

[Imra]

Re bonjour,

J'ai trouvé une solution qui semble fonctionner, je me permet donc le la partager (je n'ai pas de résolution analytique, j'y suis allé à tatons via des solveurs numériques)

La solution serait donc la suivante = (erf(L/(w*racine(2)))^2
erf la fonction erreur,
L la longueur de la cible/ouverture du diaphragme
w le waist du faisceau gaussien.
Le carré étant donné que je suis sur un carré

Cette solution correspondant au rapport des intégrales doubles en dxdy avec les bornes en L/2 et infini.

(Cela correspond uniquement à l'intensité d'une gaussienne réfléchie par un carré, sans considération des effets physiques)