Produit scalaire et norme

[Ncdk]

Bonsoir,

Je dois montrer que l'application qui envoie dans est une norme ( un espace vectoriel et un produit hermitien)

Je bloque juste pour montrer l'inégalité triangulaire en fait.

J'ai eu comme conseil de regarder !



Par contre à partir de là, j'ai comme un souvenir que . Sauf que par Cauchy-Schwarz je trouve pas comment fonctionne cette inégalité.

[mathelot]

soit <.> un produit hermitien
pour tout réel







le discriminant réduit est nul

[Ncdk]

Ah oui je vois, il me suffit seulement de calculer le discriminant du polynôme que vous m'avez donné. Ce discriminant est négatif car le produit scalaire est positif ou nul.

Merci, en plus j'ai déjà croisé ce truc dans une preuve, je vois mieux maintenant

[Ben314]

Salut,
Perso, dans le cas complexe, ça me semble quand même plus malin (et plus logique) de prendre complexe dans la preuve de mathelot.
On obtient donc que, :

Puis, en prenant , où est l'opposé d'un argument de on obtient :


Donc le discriminant est négatif (*), c'est à dire :
Et en "remontant" les calculs, on vérifie qu'il y a égalité si et seulement si il existe tel que

(*) à condition de supposer pour qu'il s'agisse effectivement d'un polynôme du second degré.

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai pas vraiment compris le rôle de , ce n'est pas un réel quelconque ? Puisqu'on écrit bien sous forme exponentielle et c'est bien "pour tout "

D'ailleurs ça ressemble beaucoup à la preuve de Cauchy-Schwarz non ?

[Ben314]

Ben... il faut un peu regarder plus loin que le bout de son nez... :
La formule est évidement valable pour tout et tout (réels)
Et ça implique (discriminant) que pour tout réel .

Sauf que, pour un complexe donné, est maximum (et vaut ) lorsque donc pour que la majoration (*) soit la plus pertinente possible, il faut prendre pour l'opposé d'un argument de (modulo ) de façon à avoir .

Sinon, ben non seulement "ça ressemble beaucoup à la preuve de Cauchy-Schwarz", mais c'est (du verbe être...) une des multiples preuves de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (valable dans tout espace préhilbertien réel ou complexe)

[Ben314]

Et si ça t'intéresse, il y a une preuve plutôt plus simple que l'on trouve plus rarement que celle ci dessus :

On veut montrer que, pour tout de préhilbertien réel ou complexe, on a .

- Si ou est nul, c'est immédiat donc on se restreint au cas où ils sont non nuls et, en les divisant tout les deux par leur norme respective, il suffit de monter que, si alors
- Quitte à multiplier (ou ) par un complexe (ou un réel dans le cas réel) de module 1 (ou dans le cas réel), on peut supposer que est un réel positif et il suffit alors de montrer que .
- Or donc .

[Ncdk]

Ah oui d'accord, merci !

C'est plutôt astucieux cette preuve, par rapport à l'autre qui est plutôt calculatoire

[Ben314]

Si je t'ai aussi donné cette preuve là, c'est que l'indic. qu'on t'a donné (il me semble)

...J'ai eu comme conseil de regarder

où il y a ni réel , ni complexe dans la norme me semble aller dans la direction de cette deuxième preuve plutôt que de la première avec l'équation du second degré et le discriminant.

[Ncdk]

D'accord

C'est mon prof de cours qui nous a donné ce conseil de toujours regardé la norme au carré quand on fait des exercices avec des normes et des produits scalaires (selon lui ça aide à démarrer des exercices où habituellement les étudiants bloquent car on a pas cette idée de mettre au carré). De plus, il utilise dans sa preuve de cours le discriminant et tout ça, étonnant qu'il nous a pas donné cette autre preuve plutôt rapide au final. Question de gout je suppose