Division de polynome

[DiegBouDiar]

Bonjour à tous,

Depuis ce matin, je cale sur un exercice incluant des polynômes...
Il me semble que c'est vraiment facile mais je ne comprends pas ce qu'il m'arrive
Une des indications pour trouver les coefficient du polynôme en question est:
"Le reste de la division de p(x) par (x+1) est -8"
où P(x) = x³ +ax² + bx+c

Dans la résolution que l'on a fait en classe, on l'interprète comme ça:
P(-1) = -8

Mais je ne comprends pas comment on peut affirmer ça ?

Merci pour votre aide et bonne journée !
(Examen de math demain...)

[laetidom]

Bonjour à tous,

Depuis ce matin, je cale sur un exercice incluant des polynômes...
Il me semble que c'est vraiment facile mais je ne comprends pas ce qu'il m'arrive
Une des indications pour trouver les coefficient du polynôme en question est:
"Le reste de la division de p(x) par (x+1) est -8"
où P(x) = x³ +ax² + bx+c

Dans la résolution que l'on a fait en classe, on l'interprète comme ça:
P(-1) = -8

Mais je ne comprends pas comment on peut affirmer ça ?

Merci pour votre aide et bonne journée !
(Examen de math demain...)

Bonjour,

Je pense que l'on écrire les choses comme cela, non . . . ? :

148.JPG (15.71 Kio) Vu 632 fois

[DiegBouDiar]

Bonjour à tous,

Depuis ce matin, je cale sur un exercice incluant des polynômes...
Il me semble que c'est vraiment facile mais je ne comprends pas ce qu'il m'arrive
Une des indications pour trouver les coefficient du polynôme en question est:
"Le reste de la division de p(x) par (x+1) est -8"
où P(x) = x³ +ax² + bx+c

Dans la résolution que l'on a fait en classe, on l'interprète comme ça:
P(-1) = -8

Mais je ne comprends pas comment on peut affirmer ça ?

Merci pour votre aide et bonne journée !
(Examen de math demain...)

Bonjour,

Je pense que l'on écrire les choses comme cela, non . . . ? :

148.JPG

Merci pour la réponse !
Oui, c'est tout à fait juste mais je pense que ça ne répond pas à la question si ?

[laetidom]

je cherches . . .

P( - 1) = -1 + a - b + c = - 8 ====> a - b + c = - 7

et (sauf erreur)

[DiegBouDiar]

Je pense que j'ai compris merci beaucoup

[laetidom]

:D Je pense que j'ai compris merci beaucoup

Peux-tu en faire profiter, même que succinctement si tu veux, les autres personnes du forum que ça peut intéresser, c'est le principe même d'un forum ! Merci DiegBouDiar !

[Ben314]

Salut,
La façon de procéder de laetidom est correcte, mais il me semble bien plus simple d'écrire que, vu que le reste de la division de P par (x+1) est -8, cela signifie (par définition) que
P(x) = (x+1)Q(x) - 8
où Q(x) est un polynôme que l'on ne connait pas (c'est le "quotient" de la division).
Et dans cette formule, si tu prend x=-1, ça donne
P(-1) = (-1+1)Q(-1) - 8 = 0.Q(-1) - 8 = -8

Et de façon plus générale et plus théorique, si tu divise un polynôme P(x) par le polynôme , le reste doit être de degré <1 (= le degré de ) donc c'est un polynôme constant égal à un certain réel .
On a donc et en prenant on en déduit que .

Bref, de façon générale, le reste de la division d'un polynôme par c'est (et il est assez probable que tu ait vu ce résultat "essentiel" en cours)
Et ce résultat est archi utile vu qu'il te dit en particulier que dans un polynôme P(x) on peut factoriser si et seulement si .

[zygomatique]

salut

une autre façon de le dire ou le voir : pour tout polynome P et tout réel u posons Q(x) = P(x) - P(u)

alors évidemment Q(u) = P(u) - P(u) = 0

donc u est racine de Q <=> x - u divise Q <=> x - u divise P(x) - P(u) <=> il existe un polynome S tel que P(x) - P(u) = (x - u)Q(x) <=> P(x) = (x - u)Q(x) + P(u)

...

évidemment on retrouve la définition : u est racine de P <=> P(u) = 0

[Ben314]

...u est racine de Q <=> x - u divise Q...

A mon sens, là, il y a un problème vu que cette équivalence, c'est justement celle qu'on cherche à démontrer (donc il vaudrait mieux éviter de l'utiliser...)

Ou alors, il faut que tu propose une preuve (bien entendu différente) pour démontrer cette équivalence.

[zygomatique]

je suis d'accord on tourne en rond ... quand on ne sait pas de quel énoncé et proposition on part au départ ...

je ne voulais rien démontrer ... juste donner une vision "différente" de ce que toi même disait ... : tu partait d'un reste r pour "montrer" que r = P(u) et je partais de P(u) pour "montrer" que c'est le reste ...

mais comme on ne voit plus ni division euclidienne des polynomes ni "théorie générale" des racines d'un polynome je n'étais effectivement par très rigoureux ...

la seule chose que l'on donne maintenant c'est la définition : a est racine de P <=> P(a) = 0

mais on ne fait plus de théorie abstraite et donner le théorème : P(a) = 0 <=> il existe Q tel que P(x) = (x - a)Q(x)

[Ben314]

...mais on ne fait plus de théorie abstraite et donner le théorème : P(a) = 0 <=> il existe Q tel que P(x) = (x - a)Q(x)

Ca, perso, je trouve que c'est vraiment vraiment complètement débile :
Tu peut faire une preuve totalement élémentaire de ce truc en écrivant que, partant de ton polynôme P(X), si tu développe tel le bourrin P(a+H), ça te donne , puis, en prenant , tu en déduit que la constante, c'est P(a) et tu termine en disant qu'il est clair qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse factoriser H (=X-a vu que X=a+H) dans le polynôme, c'est qu'il y ait pas de constante.
(En fait, tu utilise sans le dire le fait que la division euclidienne par H d'un polynôme en H, ben elle est triviale si on te donne le polynôme sous forme développée)

En plus, de faire quelques "applications" du style
Développer P(3+H) lorsque P=... et en déduire une factorisation de la forme P(X)=(X-3)Q(X)
ça pourrait que faire du bien vu le mal qu'ils ont à mener des calculs et la façon dont est (mal) comprise la notion de "variable muette" et celle de "changement de variable" (y'a qu'à voir le mal que certain étudiants ont à écrire lorsqu'on leur donne )

[zygomatique]

je suis bien d'accord avec toi ... mais ce n'est pas moi qui fait les programmes ....

de toute façon on le voit bien : quasiment aucun élève ne fait le lien pour les trinomes simplement entre : calculer les racines u et v de ce trinome et le fait qu'il s'écrive a(x - u)(x - v) (donc qu'il est factorisable par x - u (et x - v)) même si "on n’arrête pas" de leur répéter et de l'écrire dans le cours ou autre exercice et que c'est fondamental dans l'étude du signe de factoriser l'expression pour appliquer la règle des signes (qu'on résume éventuellement par un théorème ensuite dans le cas du trinome)

...