Equation de maths avec racines carrées

[yogi]

Bonjour à tous,

Je suis en classe de seconde, et aujourd'hui nous avons eu à faire un exercice dont je vous passe les détails car mon raisonnement est bon mais loin d'être le plus simple selon la prof. Le plus important est que j'arrive à l'équation plus bas, que je dois résoudre pour finir l'exercice.
Or, malgré mes vaines tentatives, je n'ai pas réussi. C'est pourquoi je demande votre aide.

Voici l'équation en question, bonne chance à vous :
√52 = √(2X² - 12X +36) + √(2X² -8X +16)

[zygomatique]

salut

1/ peut-être serait-il bien de donner l'énoncé pour être sur de ton résultat ... et de la nécessité de résoudre cette (abominable) équation

2/ élever au carré les deux membres ...

3/ je pense qu'il peut être préférable de garder et sous les radicaux de droite ... et qui proviennent fort probablement d'un calcul de distance ...

4/ et en conséquence voir 1/ ...

[Ben314]

Salut,
A mon avis, avant d'élever au carré, il serait judicieux de réécrire l'équation sous la forme

histoire qu'une fois élevé au carré :
- Il y ait des termes qui se simplifient.
- Le "double produit" ne soit pas trop compliqué.
(attention par contre au fait que l'élévation au carré n'est qu'une implication et pas une équivalence dans ce cas là)

[yogi]

Bonsoir à tous,
Merci beaucoup pour vos réponses rapides,
Voici l'énoncé de l'exercice .
Le carré AMDF de côté X est inscrit dans le triangle rectangle ABC (M appartient à [AB], D appartient à [BC],...etc) . On a AB=6 et AC=4. Calculez X.

La solution la plus simple était de faire une équation avec d'un côté l'aire de ABC = 6x4/2 = 12 ; et de l'autre côté la somme de l'aire du carré AMDF ( X²), de MBD ( 6-X)/2 ) et de FDC ( 4-X)/2 ).
On obtenait 12 = X² + 6-X)/2 + 4-X)/2
Une équation facile à résoudre, et on a X = 12/5 = 2.4

Cependant, j'ai choisi de faire une équation avec d'un côté la longueur de l’hypoténuse de ABC (quel l'on obtient avec le théorème de Pythagore) soit BC = √(6²)+(4²) = √52. Et de l'autre côté la somme de l’hypoténuse de FDC (BC = √(X²+(4-X)²) = √(X² + 16 - 8X + X²) = √(2X² - 8X + 16) ) et de l'hypoténuse de MBD ( BD = √(X² + (6-X)²) = √(X² + 36 - 12X +X²) = √(2X² -12X +36) ).
Et l'on revient à l'équation qui pose problème :
√52 = √(2X² - 12X +36) + √(2X² -8X +16)

J'espère avoir été assez clair.
Merci et bonne soirée.
P.S : désolé je n'ai pas pu faire tenir d'image (j'ai essayé tout les formats possibles) dans leur minuscule zone de 270ko.

[chan79]

Voici l'énoncé de l'exercice .
Le carré AMDF de côté X est inscrit dans le triangle rectangle ABC (M appartient à [AB], D appartient à [BC],...etc) . On a AB=6 et AC=4. Calculez X.
.

salut
on peut écrire de deux façons la tangente de l'angle ABC de sommet B.
4/6=x/(6-x)
2/3=x/(6-x)
3x=12-2x
5x=12
x=2.4
Avec ta méthode, on montre que si x est solution alors (10x-24)²=0
c'est plus long mais c'est correct (il faut vérifier la solution car on élève au carré)

[nodgim]

Effectivement, on a une solution unique pour ton équation, qui vaut 12/5. Mais c'est plutôt chaud pour un élève de seconde !

[yogi]

Bonjour,
Je n'avais pas pensé à utiliser la trigonométrie, merci.
Est ce que vous pourriez me donner le développement complet de l'équation? Ou est ce que c'est trop compliqué pour que je puisse comprendre?
En élevant au carré la somme de deux racines est ce cela les annule automatiquement?

[nodgim]

V52 = Va' + Vb'
Domaine de définition: R (ne pas négliger au passage)
V26 = Va + Vb avec a = x²-6x+18 et b = x²-4x+8
V26 - Vb = Va
Élévation au carré, transformation :
V(26b) = x + 8
Élévation au carré, transformation :
(5x-12)² = 0 d'où x = 12/5.
On vérifie tout de même que ça marche avec cette valeur.

[yogi]

Je n'ai pas bien compris le passage de la 3ème à la 4ème ligne... normalement, si on fait (V26-Vb)² on a
(V26-Vb)(V26-Vb), soit 26 - V26b -V26b + b non? Ce qui donnerai 26 - 2V26b +b qui n'est pas égal à V26b ...
Je me trompe surement mais je ne vois pas quelle est mon erreur.

[Ben314]

Il n'y a pas d'erreur, c'est simplement que nodgim, pour uniquement montrer la "logique du bidule" sans rentrer dans les détails à écrit "Élévation au carré, transformation"
Là, tu as juste fait la partie "élévation au carré" et il te faut faire la partie "transformation" (c'est à dire ajouter/retrancher des trucs des deux cotés pour obtenir du V26b=quelque_chose) pour tomber sur ce qu'il dit.

[yogi]

Ah d'accord, donc si je reprend cela fait :
√26 = √(X²-6X+18) + √(X²-4X+8)
√26 - √(X²-4X+8) = √(X²-6X+18)
[ √26 - √(X²-4X+8) ]² = [ √(X²-6X+18) ] ²
26 - 2x√26 x √(X²-4X+8) + X² - 4X +8 = X²-6X+18
-2√(26 x (X²-4X+8)) = -2X - 16
Soit :
√(26 x (X²-4X+8) = X +8
[ √(26 x (X²-4X+8) ]² = [X +8]²
√26 x √(X²-4X+8) x √26 x √(X²-4X+8) = X² +16X + 64
26 x (X²-4X+8) = X² +16X + 64
26X² - 104X + 208 = X² +16X + 64
25X² - 120X - 144 = 0
(5X)² - 2x(5X)x12 - 12² = 0
(5X-12)² = 0
On a une seule solution :
5X-12 = 0
5X = 12
X = 12/5
X = 2.4
Enfiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin !!!
J'ai compris pourquoi tu avais passé les étapes, c'est trèèèèès long.
Je crois que c'est la première équation comme ça que je résout (en partie car vous m'avez bien aidé).
Merci encore, le sujet est donc clos!

[yogi]

Ah d'accord, donc si je reprends tout cela fait :
√52 = √(2X²-12X+36) + √(2X²-8X+16)
√26 = √(X²-6X+18) + √(X²-4X+8)
√26 - √(X²-4X+8) = √(X²-6X+18)
[ √26 - √(X²-4X+8) ]² = [ √(X²-6X+18) ] ²
26 - 2x√26 x √(X²-4X+8) + X² - 4X +8 = X²-6X+18
-2√(26 x (X²-4X+8)) = -2X - 16
Soit :
√(26 x (X²-4X+8) = X +8
[ √(26 x (X²-4X+8) ]² = [X +8]²
√26 x √(X²-4X+8) x √26 x √(X²-4X+8) = X² +16X + 64
26 x (X²-4X+8) = X² +16X + 64
26X² - 104X + 208 = X² +16X + 64
25X² - 120X - 144 = 0
(5X)² - 2x(5X)x12 - 12² = 0
(5X-12)² = 0
On a une seule solution :
5X-12 = 0
5X = 12
X = 12/5
X = 2.4
Enfiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin !!!
J'ai compris pourquoi tu avais passé les étapes Nodgim, c'est trèèèèès long.
Je crois que c'est la première équation comme ça que je résout (en partie car vous m'avez bien aidé).
Merci encore, le sujet est donc clos!

[laetidom]

Bonsoir,

et . . . une petite vérification :

____.JPG (10.42 Kio) Vu 746 fois

[yogi]

En effet, j'ai oublié la vérification, merci.
Je ne connaissait pas ce signe égal surmonté d'un point d'interrogation, on m'a toujours dit de calculer chaque membre séparément, puis d'écrire "donc X=2.4 est solution de l'équation".

[zygomatique]

Bonsoir,

et . . . une petite vérification :

____.JPG

ce n'est pas ainsi qu'on effectue une vérification : on calcule le second membre et on calcule afin de tomber sur le second membre ...

le "?=" n'est pas un symbole mathématique ...

[chan79]

ce n'est pas ainsi qu'on effectue une vérification : on calcule le second membre et on calcule afin de tomber sur le second membre ...

Ah ? Perso, j'accepterais cette vérification. Le première ligne est vraie puisqu'elle équivaut à

[yogi]

Oui mais cela veut dire que dès la première ligne tu suppose que les deux parties de l'équation sont égales, alors que justement c'est une vérification donc on ne le sait pas.
A la fin cela aurait pu donner quelque chose de genre V52 = V104 si on s'était trompé de solution...

[chan79]

les lignes sont équivalentes
Comme la dernière est vraie, la première aussi.
Parfois, c'est pas simple de vérifier une solution:
Comment vérifier que est une solution de ?

[yogi]

Oui c'est vrai que dit comme ça...
En tous cas merci à tous!

[zygomatique]

les lignes sont équivalentes
Comme la dernière est vraie, la première aussi.
Parfois, c'est pas simple de vérifier une solution:
Comment vérifier que est une solution de ?

en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont égaux ...

mais surement pas en écrivant dès le départ que ces deux membres sont égaux ... puisqu'on veut vérifier qu'ils sont égaux !!!


un autre exemple classique :

PS : je prends volontairement des nombres triviaux pour pas m'emmerder avec des calculs sans intérêt ...)

le triangle de dimension 1, 2 et 3 est-il rectangle ?

démonstration classique :



super ...

la seule démonstration valable est :

(évidemment le plus grand côté d'un triangle rectangle est l’hypoténuse) (*)

1^2 + 2^2 = 5
3^3 = 9

5 <> 9 donc le triangle n'est pas rectangle

sans écrire (*) il faudrait vérifier dans l'absolu trois éventuelles" égalités