par Ben314 » 30 Oct 2016, 03:09
Salut,
Pour répondre à la question 5), il y a des tas de méthodes (comme d'habitude).
- Le premier truc qui doit venir à l'esprit, c'est évidement d'écrire la "définition" de ce que signifie "décrire une loi" dans le cas discret : On te demande donc d'évaluer les différentes proba P(Z_n=k) pour les différentes valeurs de k possibles. Z_n étant le min d'une série de n entiers entre 1 et N compris, c'est évidement un entier entre 1 et N donc les valeurs de k "acceptables" (i.e. donnant des proba non nulles) sont 1,2,...,N.
Ensuite, une fois k fixé, il faut regarder ce que ça signifie que Zn=k : ça signifie que, parmi U1,U2,...,Un, il y en a au moins un qui vaut k et que tout les autres sont >=k donc on est sensé calculer cette proba là mais ça semble être bien la m... ne serait-ce que du fait qu'il peut y en avoir plusieurs parmi U1,U2,...Un qui sont égaux à k.
Arrivé à se point, il faut un peu réfléchir pour voir s'il n'y aurait pas un autre angle d'attaque avec des calculs plus simples en se demandant "quelle propriété simple peut-on énoncer concernant le min d'une suite de nombres ?" Et là, si on a manipulé ne serait-ce qu'une fois ou deux des min dans sa vie, on est sensé avoir la réponse : LA propriété simple concernant les min, c'est que le min d'un ensemble de truc est >=k si et seulement si ils sont tous >=k. Cela conduit évidement à commencer par calculer la proba que Zn>=k (ce qui est très facile) pour ensuite en déduire la proba que Zn=k.
Tout ce Laïus ci dessus, c'est ce qui devrait immédiatement passer par l'esprit si cette question 5) était la première de l'exo, sauf que ce n'est pas le cas vu que c'est... la cinquième. Et dans un cas pareil, il faut évidement se poser la question de savoir si on ne pourrait pas faire du "recyclage" et utiliser ce qui a déjà été démontré précédemment. Ici, ça doit encore plus que d'habitude venir à l'esprit vu qu'on vient d'étudier la v.a.r. Tn et que deux sous de bon sens (ainsi que la formulation de l'énoncé) donnent l'impression que Zn et Tn ont "de fort points communs". Donc la question à se poser, c'est "comment passer de l'un à l'autre ?", c'est à dire "comment transformer un min en max ?". Et dés qu'on se pose la question, la réponse apparait immédiatement : il suffit d'utiliser n'importe quelle fonction décroissante qui va "renverser" l'ordre (c'est la définition même d'une fonction décroissante). Quelle est la fonction décroissante la plus simple qui vient à l'esprit ? Sans doute f:X->-X. Sauf qu'elle envoie 1,2,...,N sur -N,-(N-1),...-1 alors qu'on préfèrerais évidement rester sur l'ensemble 1,2,...,N pour pouvoir utiliser exactement les question précédentes sans rien changer. Qu'à cela ne tienne, c'est pas compliqué de changer de fonction décroissante pour que 1..N s'envoie sur 1..N, il suffit de translater et de prendre f:X->(N+1)-X.
Bilan : ce qu'il faut écrire, c'est que f( Min(U1,U2,...Un) ) = Max(f(U1) , f(U2), ... f(Un) ) où f(X)=(n+1)-X.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
