Résoudre dans Z^3

[Sake]

Bonsoir,

Qu'entend t on par résoudre étant donné qu'il n'y a qu'une seule équation et trois inconnues ?

C'est une diophantienne donc il faut trouver les triplets d'entiers qui satisfont l'équation.

[Razes]

Si on fait Razes fait la même erreur que Rami, de croire que si est solution et un diviseur commun de , et , alors est encore solution. Ce n'est pas vrai parce que l'équation n'est pas homogène.

Ce que je voulais signaler c'est que un nombre divise 2 des trois nombres il divise aussi le 3ème. Bien entendu si on simplifie par ce diviseur, on trouvera une équation différente.

[Robot]

Taratata Razes, tu disais plus que ça :

On peu[t] aussi se concentrer sur les cas où sont deux à deux premiers entre eux. (Car si sont solution et et ont un diviseur commun alors ça sera aussi un diviseur de , de même pour et ainsi que et )

Comment fais tu pour te ramener à ce cas là, si ce n'est en divisant par le pgcd de , et (à tort, comme je l'ai expliqué) ? Tu t'es aperçu de ton erreur, tant mieux.

[anthony_unac]

C'est une diophantienne donc il faut trouver les triplets d'entiers qui satisfont l'équation.

Ici en l'occurence, j'imagine que ça s'y prête bien mais de façon générale ça peut vite devenir horriblement compliqué cette affaire. Et dans les écoles, on demande ça aux élèves ?

[Sake]

C'est une diophantienne donc il faut trouver les triplets d'entiers qui satisfont l'équation.

Ici en l'occurence, j'imagine que ça s'y prête bien mais de façon générale ça peut vite devenir horriblement compliqué cette affaire. Et dans les écoles, on demande ça aux élèves ?

Ça peut se trouver dans certaines olympiades. Certains profs de classes compétitives peuvent aussi en poser à leurs élèves si leur niveau tient la route.

[Robot]

de façon générale ça peut vite devenir horriblement compliqué cette affaire.

C'est intrinsèquement compliqué : voir ici Dixième problème de Hilbert.
En comparaison, le problème de décider l'existence de solutions réelles est "beaucoup plus simple" : il y a un algorithme qui prend en entrée n'importe quel système d'équations polynomiales à coefficients rationnels en autant de variables qu'on veut et répond s'il a ou non des solutions.

[Pseuda]

Si (x,y,z) est solution, les trois entiers sont divisibles par 3.

Bonjour,

Finalement, c'est la parité et la congruence modulo 4 qui permet de conclure.

Pour tout x dans Z, x² 0 ou 1 (4). L'égalité x²+y²+z²=x²y² n'est donc possible que pour x², y² et z² tous les 3 congrus à 0 modulo 4, c'est-à-dire x, y, z tous les 3 pairs.

On divise x, y et z par 2, et on recommence indéfiniment (je crois que cela s'appelle la descente infinie). Arrive un moment où, si x, y et z sont 0, on ne peut plus diviser par 2. Il y a donc impossibilité dans ce cas. La seule solution est donc (0,0,0).

[anthony_unac]

1/ Une autre façon de raisonner est de poser d'entrée de jeu , il vient alors :

Cette dernière équation admet l'unique couple solution donc
Cette roublardise suffit elle néanmoins pour conclure que le triplet solution est l'unique solution ?

2/ Un raisonnement peu académique consiste à comparer l'équation à une formule physique et à se dire qu'il y a un problème d'homogénéité. Effectivement, si l'on considère que , et désigne des longueurs alors le membre de gauche de l'équation désigne une somme de surface tandis que le membre de droite désigne une surface au carré.
Ceci n'étant pas homogène, cela permet il de conclure que de tels longueurs n'existent pas (sont égales à zéro) ?

[Pseuda]

1/ Une autre façon de raisonner est de poser d'entrée de jeu , il vient alors :

Cette dernière équation admet l'unique couple solution donc
Cette roublardise suffit elle néanmoins pour conclure que le triplet solution est l'unique solution ?

2/ Un raisonnement peu académique consiste à comparer l'équation à une formule physique et à se dire qu'il y a un problème d'homogénéité. Effectivement, si l'on considère que , et désigne des longueurs alors le membre de gauche de l'équation désigne une somme de surface tandis que le membre de droite désigne une surface au carré.
Ceci n'étant pas homogène, cela permet il de conclure que de tels longueurs n'existent pas (sont égales à zéro) ?

1) Tu ne peux pas faire cela pour trouver toutes les solutions : tu t'imposes une restriction dans la recherche des solutions, autrement dit, il y a peut-être des solutions pour lesquelles zxy.

2) Par exemple, l'équation 2(x²+y²)=x²y² n'est pas homogène et admet comme solution (2,2). Je ne pense pas qu'on puisse utiliser des considérations géométriques pour résoudre ce genre d'équations.

[Robot]

On divise x, y et z par 2, et on recommence indéfiniment (je crois que cela s'appelle la descente infinie). Arrive un moment où, si x, y et z sont 0, on ne peut plus diviser par 2. Il y a donc impossibilité dans ce cas. La seule solution est donc (0,0,0).

La troisième fois que l'on fait la même erreur dans ce fil. A croire que les intervenants ne prennent pas la peine de lire les messages. Je le répète une troisième fois : l'équation n'est pas homogène. Si on a un triplet solution tel que , et ont un diviseur commun , le triplet N'EST PAS SOLUTION DE L'EQUATION !!!

[anthony_unac]

1) Tu ne peux pas faire cela pour trouver toutes les solutions : tu t'imposes une restriction dans la recherche des solutions, autrement dit, il y a peut-être des solutions pour lesquelles zxy.

Oui c'est une restriction choisie dans le but de simplifier l'équation (histoire d'aboutir à une solution rapidement) mais c'est vrai que je me ferme des portes et passe à coté d'éventuelles solutions

2) Par exemple, l'équation 2(x²+y²)=x²y² n'est pas homogène et admet comme solution (2,2). Je ne pense pas qu'on puisse utiliser des considérations géométriques pour résoudre ce genre d'équations.

On retrouve parfois cette homogénéité en géométrie (cf par exemple la formule de Héron pour calculer l'Aire d'un triangle) mais c'est vrai que c'est spécifique. Votre exemple est bien choisi et le constat est sans appel

[Pseuda]

On divise x, y et z par 2, et on recommence indéfiniment (je crois que cela s'appelle la descente infinie). Arrive un moment où, si x, y et z sont 0, on ne peut plus diviser par 2. Il y a donc impossibilité dans ce cas. La seule solution est donc (0,0,0).

La troisième fois que l'on fait la même erreur dans ce fil. A croire que les intervenants ne prennent pas la peine de lire les messages. Je le répète une troisième fois : l'équation n'est pas homogène. Si on a un triplet solution tel que , et ont un diviseur commun , le triplet N'EST PAS SOLUTION DE L'EQUATION !!!

Je n'ai visiblement pas assez détaillé la solution, je pensais que c'était inutile...

Reprenons. On a donc à l'issue de la 1ère étape : x, y et z pairs. On pose x=2x', y=2y' et z=2z'. D'où : x'²+y'²+z'²=4x'²y'², donc x'²+y'²+z'² 0 (4). Et ceci ne peut se produire que si x'², y'² et z'² sont tous les 3 congrus à 0 (4), donc x', y' et z' pairs. Etc....et le raisonnement reste identique à partir de cette 2ème étape...

[Robot]

Au temps pour moi, et bravo !
Si tu avais écrit que la descente se faisait sur la congruence (et pas sur l'équation de départ), j'aurais peut-être compris plus vite.

[Calvinator2000]

"Ceci ne peut se produire que si x'²,y'² et z'² sont tous congrus à 0 modulo 4."

Pourquoi ? (Quelque chose m'échappe).

[Robot]

Hum hum. Reprenons

On est d'accord que si , alors , et sont pairs : les carrés modulo 4 sont 0 et 1 et donc la congruence implique .

MAIS !!! pourquoi aurait-on ?????

Exemple : .

Il semble que la belle descente ne descende pas très bien.

Je retire mon "au temps pour moi" .

(et je suspends mon "bravo" à la production d'une démonstration convaincante)

[Pseuda]

"Ceci ne peut se produire que si x'²,y'² et z'² sont tous congrus à 0 modulo 4."

Pourquoi ? (Quelque chose m'échappe).

Pour tout a Z, a² 0 ou 1 (faire une table de congruence modulo 4 avec a 0, 1, 2 ou 3 (4)).

Donc pour que la somme de 3 carrés soit congrue à 0, la seule possibilité est que les 3 carrés soient congrus à zéro ( les possibilités sont : 0+0+0 ou 0+0+1 ou 0+1+1 ou 1+1+1, aucune des ces sommes n'est congrue à 4 sauf la 1ère).

Puis, selon la table de congruence, x² 0 ssi x 0 ou 2, soit x pair.

[Pseuda]

Hum hum. Reprenons

On est d'accord que si , alors , et sont pairs : les carrés modulo 4 sont 0 et 1 et donc la congruence implique .

MAIS !!! pourquoi aurait-on ?????

Exemple : .

Il semble que la belle descente ne descende pas très bien.

Je retire mon "au temps pour moi" .

(et je suspends mon "bravo" à la production d'une démonstration convaincante)

Rrrr... On en est à : x'²+y'²+z'²=4x'²y'², donc x'²+y'²+z'² 0 (4), donc x', y' et z' pairs.

Rebelote, x'=2x", y=2y", z=2z", donc x'²+y'²+z'²=16 x"²y"², donc x"²+y"²+z"² 0 (4) donc x", y", z" pairs... . Et on peut continuer comme cela indéfiniment... sauf que ce n'est pas possible, sauf si x=y=z=0.

A mon avis, cela ne mérite pas un bravo.

[Robot]

Bon, je vais finir par comprendre, et je libère mon "bravo".

Cela allait sans dire, mais cela va nettement mieux en le disant, d'autant plus que l'argument pour montrer la parité à la première étape est très sensiblement différent de celui qui sert aux étapes suivantes.

Pour rassembler tout :

Les carrés modulo 4 sont 0 et 1.

Soit une solution entière de .

Alors vaut
0 si et sont pairs
3 si au moins l'un des deux est impair.
La seule possibilité pour que soit un carré est que et soient tous les deux pairs, et alors est aussi pair. Posons , , . Alors .

Lemme : soit une solution entière de avec . Alors , sont tous pairs et si , et , est une solution entière de .

En effet la condition impose, vu que les carrés modulo 4 sont 0 et 1, que . Le reste suit facilement.

On a ainsi établi que , et sont divisibles par toute puissance de 2. Ceci impose .

[Pseuda]

Bravo, une façon différente de le réécrire.

Pour conclure, la congruence modulo 4 marche mieux que la congruence modulo 3 dans ce cas,
car, bien que pour les 2 congruences un carré ne soit congru qu'à 0 ou à 1 :
x²+y²+z² 0 (4) => x² y² z² 0 (4),
tandis que :
x²+y²+z² 0 (3) => x² y² z² 0 ou 1 (3).

[aymanemaysae]

Bonjour;

La méthode exposée par M.Robot est en elle même un cours (pour moi) et une démarche à suivre pour d'autres qui sont plus érudits que moi. Pour preuve, je suis arrivé à résoudre un exercice que M. Bendaoud a posté sur un autre site en un clin d’œil, en suivant la méthode de M.Robot.

L'exercice disait: résoudre dans .

supposons qu'on a le triplet , solution de l'équation donnée,
donc ou 1 ou 2 [4] et 0 ou 3 [4] ,
l'équation est vérifiée pour et ,
ce qui donne que a,
donc et ,
donc ,
donc est aussi solution de l'équation,
donc est aussi solution de l'équation,
donc on a établi que a, b et c sont divisibles par toute puissance de 2.

Ceci impose que (a,b,c) = (0, 0, 0) .

J'espère que j'ai bien compris la démarche de M. Robot.