Résoudre dans Z^3

[Rami]

Résoudre dans l'équation :



j'ai arrivé a ceci :

[anthony_unac]

Bonsoir,

Qu'entend t on par résoudre étant donné qu'il n'y a qu'une seule équation et trois inconnues ?

[Rami]

Bonsoir,

Qu'entend t on par résoudre étant donné qu'il n'y a qu'une seule équation et trois inconnues ?

on peut trouver comme ce genre d' exercices dans l'arithmétique

[Pseuda]

Bonsoir,

Qu'entend t on par résoudre étant donné qu'il n'y a qu'une seule équation et trois inconnues ?

Bonsoir,

L'équation a²+z²+e²+r²+t²+y²=0 a 6 inconnues et combien de solutions ?

[Pseuda]

Résoudre dans l'équation :



j'ai arrivé a ceci :

Cela me paraît un bon début. Tu peux continuer la factorisation à gauche du signe =, puis en jouant sur la parité à droite et à gauche. Sans garantie.

[Rami]

Résoudre dans l'équation :



j'ai arrivé a ceci :

Cela me paraît un bon début. Tu peux continuer la factorisation à gauche du signe =, puis en jouant sur la parité à droite et à gauche.

Merci Pseuda je vais l'essayer

[anthony_unac]

Bonsoir,

Qu'entend t on par résoudre étant donné qu'il n'y a qu'une seule équation et trois inconnues ?

Bonsoir,

L'équation a²+z²+e²+r²+t²+y²=0 a 6 inconnues et combien de solutions ?

Je l'ignore. D'après mes souvenirs un polynôme de degré admet solutions mais là c'est quelque peu différent.

[anthony_unac]

Tu peux continuer la factorisation à gauche du signe =, puis en jouant sur la parité à droite et à gauche. Sans garantie.

En suivant vos conseils, j'arrive à
mais je ne vois pas comment conclure à part déterminer à la louche quelques triplets solutions mais ce n'est pas cela qu'on attend de l'élève je présume ?

[Rami]

la seul solution que je vois c'est (0,0,0)

[Lostounet]

la seul solution que je vois c'est (0,0,0)

As-tu tenté une table de congruences modulo 4 ?

[Robot]

Si (x,y,z) est solution, les trois entiers sont divisibles par 3.

[Rami]

Si (x,y,z) est solution, les trois entiers sont divisibles par 3.

Si on se restreint à l'anneau quotient Z3, on obtient 0=z mod 3, 0=x mod 3, 0=y mod 3, comme seul solution possible.

S'il existe une solution tel que x≠0 alors en divisant par 3 jusqu'à ce qu'un des x,y,z ne soit pas divisible par 3 alors on obtient un triplet de solution avec x,y ou z différent de 0 modulo 3, ce qui est impossible.

Donc la seule solution possible est x=y=z=0.

[Robot]

Mais quand on divise par 3, les nouveau triplet obtenu n'est pas solution. Dommage !

[Rami]

Mais quand on divise par 3, les nouveau triplet obtenu n'est pas solution. Dommage !

alors la seule solution possibles est (0,0,0) .
non ?

[Robot]

Pourquoi ?

[Razes]

C'est vrai qu'il y a une seule équation, mais cette équation contient une mine d'informations, ce qui permet de limiter le nombre de solutions.

Par exemple, on peut extraire des contraintes supplémentaires, tel que:


On peu aussi se concentrer sur les cas où sont deux à deux premiers entre eux. (Car si sont solution et et ont un diviseur commun alors ça sera aussi un diviseur de , de même pour et ainsi que et ) ( et jouent le même rôle.)

[Rami]

C'est vrai qu'il y a une seule équation, mais cette équation contient une mine d'informations, ce qui permet de limiter le nombre de solutions.

Par exemple, on peut extraire des contraintes supplémentaires, tel que:


On peu aussi se concentrer sur les cas où sont deux à deux premiers entre eux. (Car si sont solution et et ont un diviseur commun alors ça sera aussi un diviseur de , de même pour et ainsi que et ) ( et jouent le même rôle.)

on cherche la solution pas le diviseur commun !!

[anthony_unac]

Bonjour,

Une solution (sans doute incomplète) consiste à poser .
Il vient alors
Géométriquement cela revient à trouver et tels que le triangle ayant pour longueur , et soit rectangle à côtés entiers.
Or un tel triangle rectangle entier n'est pas constructible car :
si alors et alors que l'hypothénuse d'un triangle rectangle à côtés entiers vaut
si alors et alors que l'hypothénuse d'un triangle rectangle à côtés entiers vaut dans ce cas
Donc en posant il n'existe pas de triplets entiers naturels solution autre que (0,0,0)

[Robot]

Si on fait , il est immédiat que l'équation n'admet comme solution entière que .

Razes fait la même erreur que Rami, de croire que si est solution et un diviseur commun de , et , alors est encore solution. Ce n'est pas vrai parce que l'équation n'est pas homogène.
Si on traitait une équation homogène ou même , il serait très facile de voir qu'il n'y a pas de solution entière, ni même de solution réelle, autre que .

[Pseuda]

Bonjour,

En effet, la congruence modulo 3 marche mieux que la congruence modulo 2 ou 4 (il faudrait y penser dès qu'il y a 3 nombres en jeu).

En divisant l'équation par 9, on aboutit à : p²+q²+r² = 9 (p²q²). Donc p²+q²+r² 0 (3), ce qui ne peut se produire que si : p², q², r² tous les 3 congrus à 0 ou 1 (3). Mais je suis bloquée là.