Limites par la méthode de l'Hospital

[Max9500]

Bonjour ! J'aurais besoin de petit coup de main dans le calcul de limite. Je dois résoudre plusieurs limites grâce à la méthode l'Hospital et deux me posent problèmes. Je les dérive selon la méthode mais après je suis bloqué. Les voici:

lim lnx/ln(sinx)
x;)0+

lim tgx-sinx/sin^3x
x;)0

J’espère que l'on pourra m'aider et merci d'avance.

[Lostounet]

Salut,

Pourquoi la 1ere te pose problème?

[Lostounet]

Salut, que donne f'/g' dans le premier cas?

Tu peux hospitaliser deux fois de suite

[Max9500]

Dans le premier cas j'arrive à (1/x)/(1/sinx)*cosx. Si je réutilise Hospital ma réponse sera de nouveau indéterminé sauf si j'ai fais une erreur.

[Lostounet]

(1/x)/(cos(x)/sin(x)) = 1/x * sinx/cos(x) = sin(x)/xcos(x)

Puis encore en dérivant:
sin(x) >> cos(x)
xcos(x) >> 1cos(x) - xsin(x)

Donc en 0: cos(0) = 1
1cos(0) - 0*sin(0) = 1

La limite vaut 1

[Max9500]

Merci beaucoup pour ta réponse j'avais fait une erreur dans ma seconde dérivé. Pour le second, la dérivé est:

((1-cos^3x)/cos^2x)/(3sin^2x*cosx)
Dois je de nouveau utiliser Hospital ?

[Lostounet]

Il y a plus joli !
Regarde:

(tan(x) - sin(x))/sin^3(x) = (sin(x)/cos(x) - sin(x))/sin^3(x)

= 1/cos(x)*sin^2(x) - 1/sin^2(x)
= (1 - cos(x))/sin^2(x)

Et si on hospitalise:

1 - cos(x) >> sin(X)
en bas: ...

Donc en simplifiant par sin(x):
1/2cos^2(x)

Et en 0 cela donne 1/2 :D

[Max9500]

Merci beaucoup ton idée est bcps plus simple que la mienne mon exercice est parfait comme cela :lol3:

[Lostounet]

Attention je me suis trompé (mais tu as du le remarquer car c'est juste une erreur d'inattention) dans le dénominateur il reste:
cos(x)*sin^2(x) qu'il faut dériver

1 - cos(x) >> sin(x)

Et au dénominateur, tu as cos(x)*sin^2(x)
de dérivée: cos(x)*2*cos(x)*sin(x) - sin^3(x) = 2cos^2(x)sin(x) - sin^2(x)

Et c'est ici que tu peux simplifier par sin(x) pour trouver le 1/2