Arithmétique-spé maths

[Mavie16]

Bonjour, j'ai un exercice de spé à faire (que j'ai fait) mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste.

Enoncé: On considère deux entiers relatifs a et b. Démontrer l'équivalence suivante: 7|(2a+5b) <=> 7|(5a+2b).

Voici ce que j'ai fait: On sait que 7-5=2 et que 7-2=5.
On sait que 7 divise A et que 7 divise B alors 7 divise A-B
7|5(a-5b)
7|7b+(5a-5b)
7|(2b+5a)

Mais en regardant un peu sur internet, j'ai vu des posts qui ne ressemblaient pas à ce que j'ai fait..
Si quelqu'un pourrait m'expliquer mes erreurs, ça serait gentil!

merci d'avance.

[beagle]

On sait que 7 divise A et que 7 divise B alors 7 divise A-B
ça démarre bien,
mais ensuite:
7|5(a-5b) euh????

A = 7a +7b est divisible par 7
si B est 2a + 5b
alors :...

[Mavie16]

D'accord,
Alors, A=7a + 7(2a+5b) ?

[beagle]

D'accord,
Alors, A=7a + 7(2a+5b) ?

euh, B c'est pas b.

A= 7a+ 7b
B= 2a + 5b
soustraction de A-B= ...

[Mavie16]

A-B= 7a+7b-(2a+5b)
= 7a+7b-2a-5b
= 5a+2b

[beagle]

A-B= 7a+7b-(2a+5b)
= 7a+7b-2a-5b
= 5a+2b

oui, 7 divise A , 7 divise B, donc 7 divise A-B
donc on a démontré que si 7 divise 2a + 5 b alors il divise 5a + 2b

et on fait l'autre coté de l'équivalence
A= 7a + 7b
B= 5a + 2 b
....

[Mavie16]

Si A=7a+7b et B=5a+2b alors,
A-B= 7a+7b-(5a+2b)
A-B=7a+7b-5a-2b
A-B=2a+5b

Donc 7divise 5a+2b et 7divise 2a+5b

[beagle]

oui, j'ai une préférence pour dire
si 7 divise 5a + 2b, alors on a montré qu'il divise aussi 2a + 5b

comme juste avant on avait démontré si 7 divise 2a + 5b alors il divise 5a + 2b

d'ou l'équivalence, maintenant je ne comprends rien dans les programmes,
on demande de démontrer une équivalence alors que l'implication serait à proscrire, est proscrite?

l'équivalence c'est dans les deux sens.

[chan79]

salut beagle et Mavie16
c'est pas mieux; je le présente autrement
(2a+5b)+(5a+2b)=7(a+b)
Si l'un des deux nombres (2a+5b) ou (5a+2b) est divisible par 7, l'autre l'est aussi. Il suffit de soustraire.
ou alors, si on écrit modulo 7
si 2a+5b=0
2(5a+2b)=5(-5b)+4b=-21b
donc 5a+2b=0 (on a le droit de simplifier par 2)
Mais il faut le faire dans l'autre sens ...

[beagle]

Bonsoir chan79, tu me confirmes qu'on ne parle plus d'implication au lycée,
mais que l'on peut demander de démontrer une équivalence?

[chan79]

Bonsoir chan79, tu me confirmes qu'on ne parle plus d'implication au lycée,
mais que l'on peut demander de démontrer une équivalence?

Je viens de jeter un coup d'œil au programme de seconde . On parle d'implication au début (Raisonnement et langage mathématiques). Il y a aussi des consignes à la fin. C'est souvent difficile de savoir si telle ou telle notion est au programme ou pas, avec des phrases du genre: "cette notion ne fera pas l'objet de cours spécifiques mais sera traitée à l'occasion de ...". Le résultat est que trop de choses ne sont pas ou mal étudiées.
Pas très optimiste, ce soir !

Le raisonnement par équivalence apparaît dans le programme de 1°S mais ils n'ont pas osé faire figurer le symbole.

[zygomatique]

salut

première méthode :

5a + 2b = 7a + 7b - (2a + 5b)

donc 7 divise 5a + 2b si et seulement si 7 divise 2a + 5b


deuxième méthode :

5a + 2b + (2a + 5b) = 7a + 7b

donc 7 divise 5a + 2b si et seulement si 7 divise 2a + 5b


troisième méthode :

si d divise 2a + 5b et 5a + 2b alors il divise 7(a + b)

or a et b sont quelconques donc d divise 7

mais alors 7 divise 2a + 5b si et seulement si 7 divise 5a + 2b

:zen:

je déconseille tout de même la troisième méthode en terminale ... :lol3:


on recommence à utiliser un peu les connecteurs logiques "implique" et "équivalent" au lycée

très souvent pour montrer une équivalence on montre la double implication ....

[Mavie16]

Mais est-ce que l'autre méthode (celle qu'on m'a expliquée, celle que j'ai appliqué) fonctionne quand même ?!

Sinon je vois à peut près ce que vous voulez dire

[beagle]

Mais est-ce que l'autre méthode (celle qu'on m'a expliquée, celle que j'ai appliqué) fonctionne quand même ?!

Sinon je vois à peut près ce que vous voulez dire

Bonsoir Mavie16, oui ce qu'on a fait ensemble fonctionne.
Mais tout dépend des phrases que tu utilises pour le présenter.
Comme je faisais ce que zygomatique appelle la double implication, j'ai eu un doute sur la présentation.
Mais c'est le plus simple à comprendre un coté donne l'autre coté, et inversement,
comme les deux flèches (deux sens) du symbole que tu utilises pour équivalence.

Merci à chan79 et zygomatique pour leurs précisions.

[nodjim]

On pourrait aussi voir que 5=-2 modulo 7.
2a+5b ou 2b+5a se réécrit donc 2a-2b ou 2b-2a, 2 (a-b) ou 2(b-a). Il faut donc dans les 2 cas a=b modulo 7.

Si évidemment la notion de modulo est acquise.

[Mavie16]

D'accord, c'est plus claire. :) Cependant, nous n'avons pas encore vu la notion de modulo

Merci beaucoup !