Suites arithmético-géométriques... TES

[stephane61]

Bonsoir, j'ai un DS mardi prochain sur les suites donc je me suis entraîné toute la journée car j'ai du mal en maths. J'arrive à peu près à refaire tous les exercices sauf deux. En voici un des deux : pouvez-vous m'expliquer SVP la partie en rouge car je ne la comprend pas j'arrive pas à trouver la logique :mur:

Exercice 2

Le service clientèle d'un supermarché a organisé une enquête. Il a modélisé la fréquentation du magasin: 8000 personnes sont venues faire leurs achats dans ce supermarché au cours du premier mois.

Chaque mois suivant 70% de la clientèle du mois précédent reste fidèle au magasin, et 3000 nouveaux clients apparaissent. (remarque: dans ce modèle, le nombre de clients peut ne pas être entier).

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note Un le nombre de clients venus au cours du nième mois d'enquête.

Ainsi U1=8000

1)
a) calculer U2 et U3 en détaillant les calculs

U2=8000*(70/100)+3000=8600
U3=8600*(70/100)+3000=9020

b)Montrer que Un+1=0.7Un+3000

70/100 = 0.7 dont la raison=0.7 et a = 3000 donc un+1=0.7Un+3000
Suffit comme explication ?

La suite (Un) est-elle arithmétique ? est-elle géométrique ?

On a une suite arithmético-géométrique (Un+1=qUn+a) comme on garde 70% de la clientèle d'un mois sur l'autre q=0.7, et comme on gagne 3000 nouveaux clients tous les mois ici a=3000

2) Pour tout entier n>=1 on pose Vn=10 000-Un
a) Montrer que (Vn) est géométrique

Vn+1=10000-Un+1
Vn+1=10000-(0.7Un+3000)
Vn+1=10000-0.7Un-3000
Vn+1=7000-0.7Un

Un=10000-Vn
Vn+1=7000-0.7(10000-Vn)
Vn+1=7000-7000+0.7Vn
Vn+1=0.7Vn

(Vn) est une suite géométrique de raison q=0.7

je n'ai rien compris je ne comprends pas la démarche !

b) Préciser V1

Vn=10000-Un
V1=10000-U1=10000-8000=2000

c) En déduire l'expression de Vn en fonction de n

n appartient N, Vn=V0*q^n-1=2000*0.7^n-1

d) Justifier que pour tout entier n>=1 :
Un=10 000 - 2000*0.7^n-1

Un=10000-2000/0.7^n-1
Vn+Uo=10000
Un=10000-Vn

3) Selon ce modèle calculer le nombre de clients le 12ème mois de l'enquête. (arrondir le résultat à l'entier près)

n appartient N Un=10000-2000*0.7^n-1
U12=10000-2000*0.7^11
U12=9960

4) Selon ce modèle déterminer le nombre d'abonnés à long terme

Un= 10000-2000*(0.7)^n-1
Vn est une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 donc lim n=>+inf Vn=0

Un=10000 soit 10000 abonnés à long terme


Voilà c'est la cata toutes les parties en rouge je comprends pas la démarche ! Pouvez-vous m'expliquer svp

Un grand merci d'avance

[stephane61]

Bonsoir et merci beaucoup pour votre aide : je vais m'imprimer vos explications et essayer de refaire demain car la je suis crevée ! trop de maths ! J'ai beaucoup de mal alors pour moi c'est pas évident de trouver ça logique :( Bonne nuit et encore merci

[Lostounet]

Nous sommes là pour t'aider, ne t'inquiète pas.
L'objectif c'est d'apprendre, et de t'améliorer petit à petit.

Ce que tu ne trouves pas logique aujourd'hui, tu le trouveras logique par la suite :)

[stephane61]

Bonjour, j'ai refait l'exercice en entier avec vos explications : j'ai tout compris (mais de là à le refaire sans modèle...). Il y a juste la question 2)d) que je ne comprends pas d'où sort ce Uo ? désolé je suis long à comprendre :(
Donc pour la 2)c) Vn=V1*q^n-1 moi j'avais mis V0 donc c'est pour ça que je ne comprenais pas.

Un question plus générale sur les suites : quand on dit par ex "calculez la production de la 10ème année" (les années ne sont pas précisées) on calcule U9 ou U10 ?

Pareil quand on dit "calculer la valeur de la voiture au bout de 4 ans" on calcule U4?

Merci d'avance

[biss]

2)d) Il mesemble que apres avoir exprimer Vn en fonction de n tu tire Un dans Vn=10000-Un
10ans=12*10mois=U120

[stephane61]

Bonsoir c'est bon j'ai tout compris ! Ce qui m'inquiète c'est que je n'ai plus le temps de m'entraîner à cet exercice car interro demain + 2 autres interros ! et moi j'ai besoin de temps pour retenir les maths !! J'y ai passé tout mon weekend.

Merci beaucoup pour votre aide je croise les doigts :)