Algebre lineaire Bases et applications

[ArtyB]

Suite de l'exercice:

2. Soit E* le dual de E et la base duale de B'.
(a) Pour le polynôme p = aX² + bX + c,
déterminer les expressions de en
fonction de a, b, c.
(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et
donner ses coordonnées dans la base

Je ne comprends pas bien les instructions de la question 2 (a) comment prendre en compte le polynôme ?

[ArtyB]

Si quelqu'un a une idée de ce que cela veut bien vouloir dire je suis preneur, parce que sans savoir ce qu'est la fonction h, je ne vois pas trop comment appliquer ça...

[MouLou]

si est une base de , la base duale de associée à est composée des formes linéaires telles que

[ArtyB]

Merci,
On est d'accord que si i=j et est nul sinon ?
Donc on a:
base duale de B'
Et
base de E
base de E
Mais là j'ai du mal à faire le lien avec le et avec le polynôme

EDIT: correction, merci Robot

[Robot]

Attention, est la base duale de , pas celle de .
La base duale de est facile à trouver.

[ArtyB]

Oui, merci Robot, au temps pour moi.
"La base duale de B est facile à trouver." Ah bon ? Et comment la trouve-t-on ? Et à quoi sert-elle ?
Je n'arrive pas à comprendre ce que l'on me demande en fait ni à visualiser le processus pour y répondre.

Ce que je sais pour h:
Soit une forme linéaire, elle s'écrit comme combinaison linéaire des :, i.e. on a:
avec
et donc tout v de E s'écrit de la façon unique: et l'on a .

Donc on a:




C'est bien cela ?

[ArtyB]

Je crois que j'ai trouvé la réponse à la 2.a)
On a:






p est tel que:



Soit, il suffit de résoudre le système suivant:
v+w=a
u+w=b
u+v+w=c

D'où l'on a :




Si quelqu'un a une idée pour la réponse b) je suis preneur !

[ArtyB]

Je crois que j'ai trouvé pour la 2.b) aussi:

On a :


et





d’où les coordonnées de f(p) dans C’ sont


Donc f(p)=(c-a)(1-X)+(c-b)(2X-1)

et f(p(1)=(c-a)(1-1)+(c-b)(2*1-1)=c-b

c-b étant un réel, l'application appartient bien à