Equation différentielle partielle

[Leododo]

Bonjour à tous,

J'ai comme exercice de résoudre l'EDP suivante ( les d sont des d ronds ) :

(x-1) df / dx = -f+2xy+2y
Pour tout t, f(t,t²) = t^3+t^2+1

J'ai commencé par l'équation homogène, (x-1) df / dx + f = 0
Soit f(x,y) = -phi (x-1)

Ensuite je cherche à établir une nouvelle équation grâce à un changement de variable, pour pouvoir avoir une forme de solution particulière. ( après peut être une variation de la constante si je n'y vois rien )

Mais je suis perturbé par la condition, f(t,t²) = t^3+t^2+1, et je ne sais pas si je suis dans une démarche en adéquation avec la question, car je me trouve bloqué pour le choix de changement de variable.

J'aimerais savoir si je suis sur la bonne méthode, sinon avoir quelques petites indications qui m'aideront à résoudre cette EDP et trouver le résultat moi même.

Merci de m'avoir lu :)

[mrif]

Soit b une constante de R.

On pose g(x) = f(x,b).
Commence par résoudre l'équation:
(x-1)g'(x) = -g(x) + 2bx + 2b.

[Leododo]

(x-1)g'(x) = -g(x) + 2bx + 2b

(x-1)g'(x)+g(x) = 2b(x+1)

Solution homogène :

g'(x) / g(x) = ln( g(x) ) = -1/x+1
g(x) = - ln( x+1 )

Solution particulière : Je ne vois pas grand chose donc variation de la constante ?

[chan79]

Solution homogène :

g'(x) / g(x) = ln( g(x) ) = -1/x+1
g(x) = - ln( x+1 )

Reprends le calcul
g'(x)/g(x)=-1/(x-1)
ln(g(x))=-ln(x-1)
...

[Leododo]

g'(x)/g(x) = -1/(x-1)

ln(g(x)) = -ln(1/(x-1))

ln (g(x)) = - ln 1 - ln (x-1)

ln (g(x)) = - ln (x-1)

ln (g(x)) = ln ( 1/x-1 )

g(x) = 1/x-1 est solution de l'équation homogène.

Je cherche alors une solution particulière de forme k(x) / x+1 ( variation de la constante ) ?

[mrif]

g'(x)/g(x) = -1/(x-1)

ln(g(x)) = -ln(1/(x-1))

ln (g(x)) = - ln 1 - ln (x-1)

ln (g(x)) = - ln (x-1)

ln (g(x)) = ln ( 1/x-1 )

g(x) = 1/x-1 est solution de l'équation homogène.

Je cherche alors une solution particulière de forme k(x) / x+1 ( variation de la constante ) ?

C'est presque ça.

Avant de diviser par x-1 il faut étudier le cas x=1.
Si x=1, l'équation de départ a comme solution .
Comme , ce qui est différent de , cette solution ne convient pas.

Pour x différent de 1, l'équation homogène a pour solutions:
(tu avais oublié la constante d'intégration).

Tu obtiendras une solution particulière en utilisant la variation de la constante k.

[Pythales]

Bonjour à tous,

J'ai comme exercice de résoudre l'EDP suivante ( les d sont des d ronds ) :

(x-1) df / dx = -f+2xy+2y
Pour tout t, f(t,t²) = t^3+t^2+1

J'ai commencé par l'équation homogène, (x-1) df / dx + f = 0
Soit f(x,y) = -phi (x-1)

Ensuite je cherche à établir une nouvelle équation grâce à un changement de variable, pour pouvoir avoir une forme de solution particulière. ( après peut être une variation de la constante si je n'y vois rien )

Mais je suis perturbé par la condition, f(t,t²) = t^3+t^2+1, et je ne sais pas si je suis dans une démarche en adéquation avec la question, car je me trouve bloqué pour le choix de changement de variable.

J'aimerais savoir si je suis sur la bonne méthode, sinon avoir quelques petites indications qui m'aideront à résoudre cette EDP et trouver le résultat moi même.

Merci de m'avoir lu

N'est-ce pas (x+1) au lieu de (x-1) ?

[Leododo]

N'est-ce pas (x+1) au lieu de (x-1) ?

Après confirmation, il y a effectivement une coquille dans l'énoncé ...

Je vais reprendre tout ce que j'ai fais grâce à votre aide à tous, et je vous fais part de mon avancement dans quelques minutes.

[Leododo]

¤ On repars de (x+1)g'(x) = -g(x) , l'équation homogène.

g'(x)/g(x) = -1/(x+1) avec x différend de -1. Si x = -1, f= -2y+2y = 0

ln(g(x)) = ln(1/-(x+1))

= ln 1 - ln (-x+1)
= ln ( 1/x+1 )
On applique l'exponentielle.

g(x) = 1/x+1 est solution de l'équation homogène.
Toutes les solutions de l'équation homogène sont donc pour x différend de -1.

¤ Recherche d'une solution particulière : MVC

Je pose


Le tout se simplifie, j'obtiens k'(t) = 2xy+2y

J'intègre par rapport à x : k(t) = yx²+2xy

Toutes les solutions sont donc

[Pythales]

¤ On repars de (x+1)g'(x) = -g(x) , l'équation homogène.

g'(x)/g(x) = -1/(x+1) avec x différend de -1. Si x = -1, f= -2y+2y = 0

ln(g(x)) = ln(1/-(x+1))

= ln 1 - ln (-x+1)
= ln ( 1/x+1 )
On applique l'exponentielle.

g(x) = 1/x+1 est solution de l'équation homogène.
Toutes les solutions de l'équation homogène sont donc pour x différend de -1.

¤ Recherche d'une solution particulière : MVC

Je pose


Le tout se simplifie, j'obtiens k'(t) = 2xy+2y

J'intègre par rapport à x : k(t) = yx²+2xy

Toutes les solutions sont donc

Compte tenu de la condition, je trouve

Je me doutais que l'énoncé était erroné. :error:

[mrif]

¤ On repars de (x+1)g'(x) = -g(x) , l'équation homogène.

g'(x)/g(x) = -1/(x+1) avec x différend de -1. Si x = -1, f= -2y+2y = 0

ln(g(x)) = ln(1/-(x+1))

= ln 1 - ln (-x+1)
= ln ( 1/x+1 )
On applique l'exponentielle.

g(x) = 1/x+1 est solution de l'équation homogène.
Toutes les solutions de l'équation homogène sont donc pour x différend de -1.

¤ Recherche d'une solution particulière : MVC

Je pose


Le tout se simplifie, j'obtiens k'(t) = 2xy+2y

J'intègre par rapport à x : k(t) = yx²+2xy

Toutes les solutions sont donc

La variable de k est x et non pas t.
Une solution particulière est et non pas

[Leododo]

Compte tenu de la condition, je trouve (...)

Pour tout t, f(t,t²) = t^3+t^2+1
Tu as pu en déduire k=y-1
Je ne vois pas comment tu as pu obtenir y-1, car ce n'est pas une condition initiale f(0,0) :s
Je n'ai de même pas compris lorsque mrif l'a appliqué au polynôme t^3+t^2+1. ( Quand on était avec (x-1) en facteur, la coquille )

La variable de k est x et non pas t.
Une solution particulière est et non pas

J'ai oublié de divisé par x+1 bien que j'avais posé , merci


Je me suis aussi aperçu que j'avais oublié la constante d'intégration à ma solution, C(x).

[mrif]

Pour tout t, f(t,t²) = t^3+t^2+1
Tu as pu en déduire k=y-1
Je ne vois pas comment tu as pu obtenir y-1, car ce n'est pas une condition initiale f(0,0) :s
Je n'ai de même pas compris lorsque mrif l'a appliqué au polynôme t^3+t^2+1. ( Quand on était avec (x-1) en facteur, la coquille )



J'ai oublié de divisé par x+1 bien que j'avais posé , merci


Je me suis aussi aperçu que j'avais oublié la constante d'intégration à ma solution, C(x).

Tu as étudié le cas x = -1 et tu as trouvé comme solution la fonction nulle f(x,y)=0, mais cette fonction ne satisfait pas à la condition pour tout t, donc elle ne convient pas.

Pour x différent de -1 les solutions de l'équation différentielle partielle sont de la forme:
où k est une constante par rapport à x (puisque on a résolu l'équation par rapport à la variable x), mais pas par rapport à y donc k est une fonction de y.
Les solutions sont donc de la forme: .

Essaie d'exprimer la condition pour tout t, pour terminer.

[Pythales]

Pour tout t, f(t,t²) = t^3+t^2+1
Tu as pu en déduire k=y-1
Je ne vois pas comment tu as pu obtenir y-1, car ce n'est pas une condition initiale f(0,0) :s
Je n'ai de même pas compris lorsque mrif l'a appliqué au polynôme t^3+t^2+1. ( Quand on était avec (x-1) en facteur, la coquille )



J'ai oublié de divisé par x+1 bien que j'avais posé , merci


Je me suis aussi aperçu que j'avais oublié la constante d'intégration à ma solution, C(x).

Petite erreur dans mon dernier message.

Je l'ai corrigé.

[mrif]

Petite erreur dans mon dernier message.

Je l'ai corrigé.

La correction est incomplète:

Le résultat que tu as donné est valable uniquement pour
Si
Si , la condition est tjs vraie:

[Abuche]

[Leododo]

Essaie d'exprimer la condition pour tout t, pour terminer.

Il n'y a pas de racines évidentes que je puisse utiliser avec Horner.
Graphiquement, j'ai une racine vers -3/2.

[mrif]

Il n'y a pas de racines évidentes que je puisse utiliser avec Horner.
Graphiquement, j'ai une racine vers -3/2.

On a:

donc , on a remplacé x par et y par .

Tu continues en utilisant la fameuse condition qui te permettra de déterminer , puis en fonction du signe de . Et si tu n'y arrives pas, je développerai un peu plus.

[Leododo]

Condition : .

J'établis l'égalité : .

Soit : .

Je remplace par .

Ce qui valide, pour y supérieur ou égal à 0, .

Mais il me manque y inférieur à 0 :hum:
J'étudie le signe de .
C'est toujours positif, je doute que les solutions complexes m'apportent quelque chose.

[mrif]

pour y supérieur ou égal à 0, .

Mais il me manque y inférieur à 0 :hum:
J'étudie le signe de .
C'est toujours positif, je doute que les solutions complexes m'apportent quelque chose.

La condition ne s'applique que pour
Donc pour ,toute fonction convient et on a: .