Limite logarithme népérien (forme indéterminé)

[Totofan]

Bonjour !

J'ai dût mal avec cette limite à calculer :




Aidez moi SVP :help:

[Sake]

Bonjour !

J'ai dût mal avec cette limite à calculer :




Aidez moi SVP :help:

Salut,

Remarque que ln(1 + x²)/x² = [ln(1 + x²) - ln(1 - 0)]/x² et vois-y un taux d'accroissement au voisinage droit de 1.

Une autre façon immédiate de le faire aurait été d'écrire un développement de Taylor au premier ordre de ln(1 + h) avec h petit, mais ça c'est hors programme en ce qui te concerne.

[Totofan]

Salut,

Remarque que ln(1 + x²)/x² = [ln(1 + x²) - ln(1 - 0)]/x² et vois-y un taux d'accroissement au voisinage droit de 1.

Une autre façon immédiate de le faire aurait été d'écrire un développement de Taylor au premier ordre de ln(1 + h) avec h petit, mais ça c'est hors programme en ce qui te concerne.

J'ai fais le taux d'accroissement mais je trouve 0

[Sake]

J'ai fais le taux d'accroissement mais je trouve 0

Tu es sûr de toi ?

Par définition, soit f une fonction continue au voisinage de x0. Si le taux d'accroissement [f(x0 + h) - f(x0)]/h admet une limite pour h réel tendant vers 0, que peux-tu en déduire sur le comportement de f au voisinage de x0 ?

[Totofan]

Tu es sûr de toi ?

Par définition, soit f une fonction continue au voisinage de x0. Si le taux d'accroissement [f(x0 + h) - f(x0)]/h admet une limite pour h réel tendant vers 0, que peux-tu en déduire sur le comportement de f au voisinage de x0 ?

Attendez... Que doit-on faire précisément avec le taux d'accroissement ? J'ai calculé la dérivée de f(x)=

[Sake]

Attendez... Que doit-on faire précisément avec le taux d'accroissement ? J'ai calculé la dérivée de f(x)=

Quelle est la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point x0 ?

[mathelot]

(nb dérivé)
en posant , on a le résultat

[Totofan]

(nb dérivé)
en posant , on a le résultat

Ah d'accord en posant !

[Totofan]

Y a quelque chose que je comprend pas... vous pouvez juste détaillé les calculs pour qu'à l'avenir je puisse le faire ? (Je ne fais pas un DM mais une annale de concours)

[Sake]

Y a quelque chose que je comprend pas... vous pouvez juste détaillé les calculs pour qu'à l'avenir je puisse le faire ? (Je ne fais pas un DM mais une annale de concours)

Ben je vois pas ce que tu n'as pas compris après tout ce qu'on t'a dit.

Par définition, si une fonction f est continue en x0, et que le nombre admet une limite finie pour h positif (resp. négatif) tendant vers zéro, alors f est dérivable en , et ce à droite de (resp. à gauche). De plus, nous savons alors que le nombre dérivé de f en est

Ca c'est peut-être mot pour mot ce qu'il y a dans ton propre cours.

Connaissant ce résultat, on remarque que et ça, c'est le taux d'accroissement de la fonction au voisinage de 1. En posant que x² = h, on voit que la limite de cette fonction pour h tendant vers 0, c'est la dérivée de ln évaluée en 1.

[Totofan]

Ben je vois pas ce que tu n'as pas compris après tout ce qu'on t'a dit.

Par définition, si une fonction f est continue en x0, et que le nombre admet une limite finie pour h positif (resp. négatif) tendant vers zéro, alors f est dérivable en , et ce à droite de (resp. à gauche). De plus, nous savons alors que le nombre dérivé de f en est

Ca c'est peut-être mot pour mot ce qu'il y a dans ton propre cours.

Connaissant ce résultat, on remarque que et ça, c'est le taux d'accroissement de la fonction au voisinage de 1. En posant que x² = h, on voit que la limite de cette fonction pour h tendant vers 0, c'est la dérivée de ln évaluée en 1.

J'ai compris ! Merci donc oui la limite est au voisinage de soit 1 (car (ln 1)' =1) . :id: Je ne savais pas que c'était f'(x0), avant je faisais f'(0) car x tend vers 0.

[chombier]

J'ai compris ! Merci donc oui la limite est au voisinage de soit 1 (car (ln 1)' =1) . :id: Je ne savais pas que c'était f'(x0), avant je faisais f'(0) car x tend vers 0.

D'une façon plus générale, si
et alors

On pose généralement X = f(x) pour plus de clarté.

On obtient :
et


ici : f(x)=x^2 ; x_0=0 ; x_1=0 ; g(x)=ln(1+x)/x) et l = 1

[Sake]

J'ai compris ! Merci donc oui la limite est au voisinage de soit 1 (car (ln 1)' =1) . :id: Je ne savais pas que c'était f'(x0), avant je faisais f'(0) car x tend vers 0.

Attention, ça n'a aucun sens d'écrire (ln 1)' : La dérivée d'une constante vaut toujours 0.
C'est plutôt la dérivée de ln évaluée en 1, ce qu'on écrira (ln)'(1) si tu le souhaites.

[Totofan]

Ah oui désolé :) Je retiendrais, merci beaucoup et bonne continuation :)