Complexes qui sont complexes

[Ibiza91]

Bonjour, je rencontre quelques soucis dans mon exercice... :triste:

On a un plan complexe et on considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z² - 4z

1a) On pose z = x+iy. Je calcule les parties réelle et imaginaire de z' en fonction de x et y.
J'obtiens Re(z') = x²-4x-y² et Im(z') = 2xy -4y. C'est bon ?

1b) J'en déduis l'ensemble (F) des points M tels que z' soit un nombre réel.
Or z' réel équivaut à Im(z') = 0, soit 2xy-4y=0, 2y(x-2) = 0, etc... soit y=0 ou x=2
Donc l'ensemble (F) est la réunion des droites D1 et D2 d'équations y=0 et x=2.

2) zA= 1+i et zB = 3-i
Je calcule les affixes des points A' et B' images des points A et B par f.
Pour le point A' : Re(zA') = 1-4-1 = -4 et Im(zA') = 2-4 = -2 Soit zA' = -4-2i.
Pour le point B' : Re(zB') = 9-12-1 = -4 et Im(zB') = -2 Soit zB' = -4-2i.
Ensuite je dois dire ce que je constate. On constate ainsi que les affixes des points A' et B' images des points A et B par f sont égales.

3b) Soit M1 et M2 les pts d'affixes z1 et z2.
Je montre que si L est le milieu du segment [M1M2], alors z2 =4-z1 et f(M1) = f(M2).
Si L est le milieu de [M1M2], alors zL = (z1+z2)/2, soit 2=(z1+z2)/2, z1+z2 = 4, z2=4-z1. OK pour cette partie de la question. Mais pour f(M1) = f(M2) ?

3c) Là je dois expliquer le résultat de la question 2 mais je vois pas comment.

4) Je détermine les pts R et S qui ont pour image le point T d'affixe -5.
Comment faire ?

5a) Je vérifie que, pour tout nombre complexe z, on a z'+4 = (z-2)².
J'ai réussi ça c'est OK (j'ai utilisé l'identité remarquable a²-2ab+b² = (a-b)²)

5b) J'en déduis une relation entre module de z'+4 et module de z-2 d'une part et entre arg(z'+4) et arg(z-2) d'autre part.
Comment faire ?

5c) zK = -4
Je démontre que tous les pts M du cercle (C) de centre L et de rayon 2 ont leur image M' sur un cerlce (C') que l'on déterminera.
Je vois pas non plus...

6) Soient zE = 2+2 e ^(i(pi/3)) et E' l'image de E.
a) Je calcule la distance LE et une mesure en radians de l'angle (vecteur u, vecteur LE).
b) Placer en justifiant le pt E'.

En vous remerciant d'avance.

[siger]

bonsoir

ta redaction ne permet pas facilement de comprendre quelque chose!
" je determine les points R et S qui ...." par exemple
qu'estce que cela veut dire:
1- c'est une reponse ..... mais a quelle question?
2- c'est la question a laquelle tu dois repondre?

on finit par ne plus savoir a quelle question tu as finalement repondu...

[titine]

Bonjour, je rencontre quelques soucis dans mon exercice... :triste:

On a un plan complexe et on considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z² - 4z

1a) On pose z = x+iy. Je calcule les parties réelle et imaginaire de z' en fonction de x et y.
J'obtiens Re(z') = x²-4x-y² et Im(z') = 2xy -4y. C'est bon ?

1b) J'en déduis l'ensemble (F) des points M tels que z' soit un nombre réel.
Or z' réel équivaut à Im(z') = 0, soit 2xy-4y=0, 2y(x-2) = 0, etc... soit y=0 ou x=2
Donc l'ensemble (F) est la réunion des droites D1 et D2 d'équations y=0 et x=2.

2) zA= 1+i et zB = 3-i
Je calcule les affixes des points A' et B' images des points A et B par f.
Pour le point A' : Re(zA') = 1-4-1 = -4 et Im(zA') = 2-4 = -2 Soit zA' = -4-2i.
Pour le point B' : Re(zB') = 9-12-1 = -4 et Im(zB') = -2 Soit zB' = -4-2i.
Ensuite je dois dire ce que je constate. On constate ainsi que les affixes des points A' et B' images des points A et B par f sont égales.

3b) Soit M1 et M2 les pts d'affixes z1 et z2.
Je montre que si L est le milieu du segment [M1M2], alors z2 =4-z1 et f(M1) = f(M2).
Si L est le milieu de [M1M2], alors zL = (z1+z2)/2, soit 2=(z1+z2)/2, z1+z2 = 4, z2=4-z1. OK pour cette partie de la question. Mais pour f(M1) = f(M2) ?

3c) Là je dois expliquer le résultat de la question 2 mais je vois pas comment.

Ce que tu as fait est bon.

Si z2 = 4-z1
z2' = z2² - 4z2 = (4-z1)² - 4(4-z1) = ........ = z1² - 4z1 = z1'
Donc f(M2) = f(M1)

A la question 2) le milieu de [AB] est L donc A et B ont bien la même image.

[titine]

4) Je détermine les pts R et S qui ont pour image le point T d'affixe -5.
Comment faire ?

Il faut résoudre z' = -5 c'est à dire z² - 4z = -5
équation du second degré donc 2 solutions qui sont les affixes des points R et S.

[titine]

5a) Je vérifie que, pour tout nombre complexe z, on a z'+4 = (z-2)². J'ai réussi ça c'est OK (j'ai utilisé l'identité remarquable a²-2ab+b² = (a-b)²) 5b) J'en déduis une relation entre module de z'+4 et module de z-2 d'une part et entre arg(z'+4) et arg(z-2) d'autre part. Comment faire ?

lz'+4l = l(z-2)²l = lz-2l²
arg(z'+4)= arg((z-2)²) = 2arg(z-2)
car lZ²l = lZl² et arg(Z²) = 2arg(Z)

5c) zK = -4 Je démontre que tous les pts M du cercle (C) de centre L et de rayon 2 ont leur image M' sur un cerlce (C') que l'on déterminera. Je vois pas non plus...

Si M est sur le cercle (C) de centre L et de rayon 2 alors LM = 2 donc lz-2l = 2
Or on a vu que
lz'+4l = lz-2l²
Donc lz'+4l = 2² = 4
Donc lz'-(-4)l = 4
Ce qui prouve que M' vérifie KM' = 4
Donc M' est sur le cercle de centre K et de rayon 4.

Tu me suis ?