Endomorphisme commutant

[yoo]

bonjour, j'ai une petite question si f et g sont deux endomorphismes de E(espace vectoriel de dimension finie)tel que
fog=gof
alors Imf et kerf sont stables par g
ma question est la suivante est ce que ce resultat est vrai en dimension infinie ,et est ce que la reciproque est vraie merci d'avance

[yos]

1) oui : la preuve est immédiate et n'utilise rien sur la dimension.
2) non. Je te laisse chercher un contre-exemple.

[abcd22]

Pour la dimension infinie, oui puisqu'on n'a pas besoin de la dimension finie pour montrer la stabilité.
La réciproque est fausse même en dimension finie : si on prend pour f un isomorphisme, on a Im f = E et Ker f = {0}, donc Im f et Ker f sont stables par g pour tout g. Tu devrais pouvoir trouver un exemple d'isomorphisme f et un g quelconque qui ne commute pas avec f en dimension 2.

[Alexandre_de_Prepanet]

Perso, je fais toujours des petits dessins pour ce genre de questions. Les khôlleurs aiment bien !