Etude de l'équation des cordes vibrantes

[Romanouch]

Bonjour,

Ma question concerne l'étude mathématique de l'équation des cordes vibrantes, étude alliant donc physique et maths.
Ce qui m'intéresse est l'établissement de l'équation aux dérivées partielles.
Dans le cadre de cette étude, on fait pas mal d'approximations. Je cherche à comprendre quelles sont ces approximations et pourquoi on peut les faire.

Je mets l'extrait de cours de Monsieur Bertault en lien (cours qui malheureusement n'est plus sur son site depuis le changement de programme 2013). J'en profite pour conseiller vivement d'aller y faire un tour car ses explications sont de grande qualité.

Question 1:

Il est écrit que
Je ne comprends pas d'où vient cette expression car d'après moi, puisque est une fonction des deux variables (x,t):


Dire que revient donc à considérer comme nul, donc à considérer le temps fixé dans cette expression? Je ne comprends pas.

Question 2:

Il est écrit que ce qui revient à dire que la portion de corde étudiée est considérée comme un segment et non comme une courbe entre et . Pourtant cela n'est dit nul part dans l'explication, est-ce normal?

Il peut sembler à certains que je "cherche la petite bête" en posant ces questions, mais mon but est de bien comprendre ce que l'on fait dans cette étude et ce qui me paraît non justifiée me dérange.

J'espère que quelqu'un réussira à m'aider.

Lien fichier: http://toutbox.fr/romanouch/31.+Cours+-+Fonctions+de+deux+variables,14417774.pdf (page 15)

[Carpate]

Bonjour,

Ma question concerne l'étude mathématique de l'équation des cordes vibrantes, étude alliant donc physique et maths.
Ce qui m'intéresse est l'établissement de l'équation aux dérivées partielles.
Dans le cadre de cette étude, on fait pas mal d'approximations. Je cherche à comprendre quelles sont ces approximations et pourquoi on peut les faire.

En fichier joint, je mets l'extrait de cours de Monsieur Bertault (cours qui malheureusement n'est plus sur son site depuis le changement de programme 2013). J'en profite pour conseiller vivement d'aller y faire un tour car ses explications sont de grande qualité.

Question 1:

Il est écrit que
Je ne comprends pas d'où vient cette expression car d'après moi, puisque est une fonction des deux variables (x,t):


Dire que revient donc à considérer comme nul, donc à considérer le temps fixé dans cette expression? Je ne comprends pas.

Question 2:

Il est écrit que ce qui revient à dire que la portion de corde étudiée est considérée comme un segment et non comme une courbe entre et . Pourtant cela n'est dit nul part dans l'explication, est-ce normal?

Il peut sembler à certains que je "cherche la petite bête" en posant ces questions, mais mon but est de bien comprendre ce que l'on fait dans cette étude et ce qui me paraît non justifiée me dérange.

J'espère que quelqu'un réussira à m'aider.

Pour t'aider il faudrait pouvoir déchiffrer la pièce jointe qui est illisible

[Romanouch]

Bonjour,

J'ai rectifié le lien, ça doit fonctionner maintenant.

[Ben314]

Salut,
Avec un scan de 300 pixels par 300, c'est toujours pas lisible....

Essaye encore... :lol3:

[Romanouch]

Dur dur... je pense que c'est ok, j'ai fini par mettre le doc pdf en entier, c'est page 15.

[Ben314]

Il est écrit que

Lorsque tu calcule une dérivée partielle d'une fonction (ici la fonction y) par rapport à une variable (ici x), ça signifie, par définition, que les autres variables sont considérées comme constantes :

Et, pour moi, dans la définition de la fonction où on parle de "la tangente à la courbe", c'est la courbe qu'on obtient lorsque l'on fait une photo (instantanée) de la corde, c'est à dire que dans le premier dessin à droite je considère que la courbe tracée est celle pour un fixé et donc que , c'est la dérivée de cette fonction, c'est à dire la dérivée partielle en x de la fonction f.

[Ben314]

Il est écrit que ce qui revient à dire que la portion de corde étudiée est considérée comme un segment

Effectivement, on considère que la courbe est suffisement "régulière" et surtout que dx et dy sont suffisement petit pour que la portion de courbe en question puisse être assimilée à un segment.

En fait, cette "formule" est la formule générale pour calculer la longueur d'une courbe.

[Romanouch]

Effectivement, on considère que la courbe est suffisement "régulière" et surtout que dx et dy sont suffisement petit pour que la portion de courbe en question puisse être assimilée à un segment.

En fait, cette "formule" est la formule générale pour calculer la longueur d'une courbe.

Salut,

Je viens à peine de voir ta réponse, bizarrement le forum ne m'a pas envoyé de mail pour me prévenir que j'avais des réponses.

Concernant ta première réponse, j'avais continué de creuser de mon côté, je pense que la formule que tu donnes est celle de la dérivée directionnelle de direction , le vecteur directeur de l'axe (Ox). Dans ce cas, la formule est correcte, mais c'est la notation dy qui m'a embrouillé. Finalement, la notation correcte ne serait-elle pas plutôt ?

Concernant ta deuxième réponse, je suis d'accord et j'avais compris, mais je pense que c'est l'utilisation du signe = et non pas "environ" qui m'a dérangé (surtout dans un cours de maths).

La question que je me pose maintenant, c'est est-ce qu'il est acceptable de "fixer" le temps pour calculer la variation infinitésimale de y. Car en fait, cette variation de y dépend bel et bien aussi du temps non?

[mathelot]

je me demande si la question que tu te poses n'est pas spécifique aux cordes vibrantes

j'écris n'importe quoi



(c'est la même forme de sinusoïde , mais pas la même à chaque instant)



en quelque sorte,l'opérateur "dérivation" , dans l'espace tangent, est indépendant du temps.
(la courbe de la dérivée vibrerait en synchronisation de la courbe de la fonction)

tu vois ce que je veux dire, à vérifier.

[Ben314]

Concernant les notations, je n'ai pas de réponse.
C'est certes (un peu) des maths, mais avec clairement des notations "à la physicienne" qui n'auraient pas été celles (plus lourdes) que j'aurais employé en temps que matheux.

Concernant par exemple ta deuxième question (le =), avec mes notations (de matheux), j'aurais plutôt écrit :
"Si désigne la longueur entre à d'une courbe paramétrée alors "
Et c'est une vrai égalité. Perso, c'est plutôt comme ça que je traduit en "vrai math" la formule de ton bouquin.

Mais c'est vrai qu'on peut aussi écrire en terme d'approximation (pour petit) ce qui revient... exactement au même.

Pour ta question finale, il me semble bien que la réponse est "oui", vu que ce qu'on veut calculer c'est le dy/dx qui (par définition) signifie la variation de y par rapport à x pour t fixé donc ce n'est pas une "approximation" de supposer le t fixé, c'est uniquement que la quantité qu'on cherche à calculer c'est dy/dx (pour l'injecter dans l'équation de je sais plus trop qui) pour ensuite, par du calcul, en déduire la valeur de dy/dt.

[mathelot]

@Ben314: tu crois ? j'ai mis du temps à comprendre ce qu'était une corde vibrante.
Chaque point de la courbe fait du yoyo et c'est la différence de phase qui créée la sinusoïde.
donc sa dérivée dy/dx, relativement à x, peut très bien ne pas dépendre du temps,
dans la mesure où la dérivée (le vecteur tangent) vibre en syncro.

[mathelot]

Dire que revient donc à considérer comme nul, donc à considérer le temps fixé dans cette expression?

non, pas nécessairement. la sinusoïde de la dérivée p-e synchro avec la sinusoïde initiale.

[Romanouch]

non, pas nécessairement. la sinusoïde de la dérivée p-e synchro avec la sinusoïde initiale.

Salut,

Ce que je voulais dire, c'est qu'étant donné que y est une fonction de deux variables (x,t) et non pas la "fonction deuxième coordonnée",


Donc en écrivant directement que , on "fait comme si" la formule était toujours vraie, alors que derrière se cache un temps fixé. Pour le dire autrement, on a pris la dérivée directionnelle de direction l'axe des x (ce que je disais dans un de mes messages précédents).
Est-ce que sur cela nous sommes d'accord?

[Romanouch]

Concernant les notations, je n'ai pas de réponse.
C'est certes (un peu) des maths, mais avec clairement des notations "à la physicienne" qui n'auraient pas été celles (plus lourdes) que j'aurais employé en temps que matheux.

Concernant par exemple ta deuxième question (le =), avec mes notations (de matheux), j'aurais plutôt écrit :
"Si désigne la longueur entre à d'une courbe paramétrée alors "
Et c'est une vrai égalité. Perso, c'est plutôt comme ça que je traduit en "vrai math" la formule de ton bouquin.

Mais c'est vrai qu'on peut aussi écrire en terme d'approximation (pour petit) ce qui revient... exactement au même.

Pour ta question finale, il me semble bien que la réponse est "oui", vu que ce qu'on veut calculer c'est le dy/dx qui (par définition) signifie la variation de y par rapport à x pour t fixé donc ce n'est pas une "approximation" de supposer le t fixé, c'est uniquement que la quantité qu'on cherche à calculer c'est dy/dx (pour l'injecter dans l'équation de je sais plus trop qui) pour ensuite, par du calcul, en déduire la valeur de dy/dt.

Salut,

Je vois les choses comme ça:
- le physicien a une "loi": masse x accélération = somme des forces appliquées à un système.
- l'accélération, on la connaît en fonction de y (en faisant pas mal d'approximations mais passons)
- la somme des forces, on se débrouille (encore plein d'approximations, mais ce n'est pas le sujet ici)
- il reste la masse: on prend une corde de masse linéique homogène, il faut donc étudier une petite portion de corde, de longueur dl (sinon, pas de masse, quoique?). Comme on ne peut pas utiliser dl, on fait l'approximation que dl est un segment et que dy<<dx. On utilise Pythagore et avec l'approximation, ça donne dl environ égal à dx. Cool, on a trouvé dx, ça nous permet de simplifier le tout et d'aboutir à une EDP utilisable.

Ce que fait le physicien, je veux bien l'admettre puisqu'il a un objectif différent, au départ en tout cas, du mathématicien.
Mais mathématiquement, j'ai encore du mal à cerner la rigueur de la démarche.

[Ben314]

J'ai du mal à comprendre... ce que tu ne comprend pas....

Reprenons :
- Le dessin à droite au début de l'exo., c'est une photo. "instantannée" de la corde. <= Tu es d'accord ou pas ?
- C'est sur ce dessin là qu'est définit l'angle theta. <= Tu es d'accord ou pas ?
- Le dessin représente la fonction pour un fixé. <= Tu es d'accord ou pas ?
- La dérivée de la fonction (d'une seule variable) susnommée, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?
- Donc, vu sa définition, la tangente de theta, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?

[Ben314]

J'ai du mal à comprendre... ce que tu ne comprend pas....

Reprenons :
- Le dessin à droite au début de l'exo., c'est une photo. "instantannée" de la corde. <= Tu es d'accord ou pas ?
- C'est sur ce dessin là qu'est définit l'angle theta. <= Tu es d'accord ou pas ?
- Le dessin représente la fonction pour un fixé. <= Tu es d'accord ou pas ?
- La dérivée de la fonction (d'une seule variable) susnommée, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?
- Donc, vu sa définition, la tangente de theta, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?

P.S. : Je ne vois pas a quel endroit il est écrit ça dans le texte :

Donc en écrivant directement que

[Romanouch]

Salut,

Reprenons :
- Le dessin à droite au début de l'exo., c'est une photo "instantannée" de la corde. <= Tu es d'accord ou pas ? Oui
- C'est sur ce dessin là qu'est définit l'angle theta. <= Tu es d'accord ou pas ?Oui.
- Le dessin représente la fonction pour un fixé. <= Tu es d'accord ou pas ?Oui
- La dérivée de la fonction (d'une seule variable) susnommée, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?Oui
- Donc, vu sa définition, la tangente de theta, c'est la dérivée partielle de y par rapport à x.<= Tu es d'accord ou pas ?Alors, heu...



Le mélange entre fonction d'une seule variable, fonctions de deux variables dont on fixe l'une des deux, expressions, limite et infinitésimaux, c'est cela qui me dérange. J'essaie de comprendre mathématiquement les approximations ou notations de cette situation de physique.

Par définition de l'angle , et puisqu'on décide de noter dy et dx une variation "très petite" de y et de x, je suis bien d'accord que:

Ensuite, comme on fixe le temps, on peut peut être écrire que mais j'avoue que ça me dérange, parce qu'on parle de deux fonctions différentes..

La première est une fonction d'une variable:
La deuxième est une fonction de deux variables
En les appelant toutes les deux, on dirait que c'est les mêmes, pourtant non.

Au final, j'ai l'impression qu'on dit que n'est qu'une notation pour parler de la dérivée de y par rapport à x, et là je ne vois absolument pas ce que cela signifie. La dérivée d'une fonction d'une variable est une limite, mais là d'un coup ça devient le quotient de deux choses très petites, qu'on considère comme une simple notation parfois... bref je suis embrouillé sur ça.

[Ben314]

Arrivé à ce point là, il faut demander de l'aide à quelqu'un qui a un peu l'habitude des notations de physique (c'est qui n'est pas du tout mon cas) :
Dans mon petit univers de matheux le seul truc que je comprend, c'est la notion de dérivées partielles (et de différentielle) et je n'ai jamais très bien compris la distinction faite en physique entre les "d droits" et les "d rond" donc... je ne pense pas être la bonne personne pour te l'expliquer...

[DamX]

Normalement le d droit c'est la différentielle totale (différentielle en maths), et le d rond c'est jamais que la dérivée partielle.

Dans ce cas particulier, mais je peux me tromper parce que j'ai lu rapidement, je pense qu'il y a un abus de langage et qu'il n'a jamais été question de différentielle totale lorsqu'il écrit dy/dx. J'ai l'impression que c'est juste pour reprendre la notation sur son schéma (qui est une photographie de la corde à l'instant t) : Il mesure un petit "dx", qui vaut le côté adjacent du triangle d'angle theta, il mesure également un petit "dy" qui est le côté opposé et qui vaut donc (comme on est à l'instant t) dy = y(x+dx,t)-y(x,t)

et ainsi sa tangente est juste


mais le dy/dx ici écrit ne correspond pas à une différentielle au sens math, c'est juste le ratio entre le dy par le dx mesurés sur le schéma, c'est à dire à la dérivée partielle.

Enfin je pense :lol3:

Damien

[Romanouch]

Normalement le d droit c'est la différentielle totale (différentielle en maths), et le d rond c'est jamais que la dérivée partielle.

Dans ce cas particulier, mais je peux me tromper parce que j'ai lu rapidement, je pense qu'il y a un abus de langage et qu'il n'a jamais été question de différentielle totale lorsqu'il écrit dy/dx. J'ai l'impression que c'est juste pour reprendre la notation sur son schéma (qui est une photographie de la corde à l'instant t) : Il mesure un petit "dx", qui vaut le côté adjacent du triangle d'angle theta, il mesure également un petit "dy" qui est le côté opposé et qui vaut donc (comme on est à l'instant t) dy = y(x+dx,t)-y(x,t)

et ainsi sa tangente est juste


mais le dy/dx ici écrit ne correspond pas à une différentielle au sens math, c'est juste le ratio entre le dy par le dx mesurés sur le schéma, c'est à dire à la dérivée partielle.

Enfin je pense :lol3:

Damien

Salut,

Si le physicien utilise ce qu'il appelle des infinitésimaux (dy et dx), alors je comprends que . Je ne comprends pas pourquoi tu mets des " ". Est-ce parce que la notation rappelle la différentielle mathématique (qui est une fonction) et qu'elle est donc abusive?

Si on admet cette notation, pourquoi en déduit-on que cela est égal à la dérivée partielle de y par rapport à x? Je ne comprends pas pourquoi tu dis que , la définition mathématique ne serait-elle pas plutôt:
.

Finalement, le physicien utilise une notation abusive, et une définition de la dérivée différente de celle du mathématicien?