DM de math Matrice Spé Terminale ES

[Julien34]

Bonjour,

Je dois rendre un devoir maison en mathématique pour la rentrée, et je cherche, mais je n'arrive vraiment pas à trouver (le deuxième exercice '-'). Je viens donc demander votre aide.

Soit A appartient à Mn (définis sur l'infinis ) avec A^2 - A - 2In = 0

On pose : P = 1/3(A+In) et Q = 1/3(2In-A)

a) Vérifier que P^2=P et Q^2=Q
b) Calculer P+Q, PQ et QP


Pour l'instant j'ai fais plusieurs essais tous non concluants par la suite des questions...

[Tiruxa]

Bonjour,

Il suffit de trouver une matrice B telle que AB=BA=In, B est alors l'inverse de A.

Donc il suffit de tripatouiller l'hypothèse pour faire apparaître B.

Déjà transposer 2In, puis se débarasser du 2 en multipliant par son inverse et enfin factoriser l'autre membre.
Cela ne devrait pas être trop dur.

[Julien34]

Bonjour,

Il suffit de trouver une matrice B telle que AB=BA=In, B est alors l'inverse de A.

Donc il suffit de tripatouiller l'hypothèse pour faire apparaître B.

Déjà transposer 2In, puis se débarasser du 2 en multipliant par son inverse et enfin factoriser l'autre membre.
Cela ne devrait pas être trop dur.

Déjà merci d'avoir répondu.

Je comprends pas exactement ce que vous voulez dire
De base on sait que In=AxA-1 donc, 2In= 2(AxA-1)

Mais à partir de là, quand je pose l'équation, j'arrive à rien...

[paquito]

Tu a, donc et , par conséquent,

, mais , d'où .

et .

[Julien34]

Tu a, donc et , par conséquent,

, mais , d'où .

et .

Bon et bien merci x), j'ai pas tout compris mais je vais essayer de voir refaisant.

Par contre je comprends pas le A^2-A=2I > A(A-I(Je vois pas d'ou sort ce "I")=2I,

[Tiruxa]

Bon et bien merci x), j'ai pas tout compris mais je vais essayer de voir refaisant.

Par contre je comprends pas le A^2-A=2I > A(A-I(Je vois pas d'ou sort ce "I")=2I,

C'est la même chose que lorsque dans R tu as a²-a=a(a-1)

C'est parce que a= a*1, autrement dit parce que 1 est l'élément neutre de la multiplication dans R

Pour les matrices carrées d'ordre n l'élément neutre de la multiplication est In

Donc A*In=In*A=A

et A²-A=A*A-A*In=A(A-In)

[Julien34]

C'est la même chose que lorsque dans R tu as a²-a=a(a-1)

C'est parce que a= a*1, autrement dit parce que 1 est l'élément neutre de la multiplication dans R

Pour les matrices carrées d'ordre n l'élément neutre de la multiplication est In

Donc A*In=In*A=A

et A²-A=A*A-A*In=A(A-In)

Merci, je savais pas que In était considéré comme élément neutre.

Donc A-1 = 1/2(A-1), je vous remercis à vous deux :')

J'essayerai de voir pour le Q^2=Q demain à l'aide de ce résultat (merci par ailleurs pour l'explication du P^2=P que j'ai également compris).

[Julien34]

Bonjour,

J'ai repris le DM ce matin (ah que c'est bien les vacances x)), j'ai tout mis au clair.

J'ai trouvé facilement Q^2=Q en suivant le modèle du P^2=P

Et je suis donc arrivé à la troisième question, j'ai bien trouvé P+Q=I, mais concernant le PQ j'ai commencé à chercher et je finis avec des A^2 et A qui ne s'annule pas et donc ne trouve pas le 0 final. Peut être que je me trompe dès le début je sais pas, si vous pouvez me dire ou je me suis trompé

Voilà ce que j'ai fais

1/3(A+I)x1/3(2I-A) > (1/3A+1/3I)x(2/3I-1/3A) > 2/9A -1/9A^2 +2/9I -1/9A > 1/9A^2 +1/9A +2/9I

Merci par avance

[paquito]

, mais et par hypothèse .

[Julien34]

, mais et par hypothèse .

Merci beaucoup, j'aurai vraiment pas trouvé, je trouve ça vraiment complexe mais à la fois tellement logique x)

Merci et bien je vais finaliser mon dm avec QP.

[paquito]

Merci beaucoup, j'aurai vraiment pas trouvé, je trouve ça vraiment complexe mais à la fois tellement logique x)

Merci et bien je vais finaliser mon dm avec QP.

QP est forcément égale à PQ car P et Q sont combinaisons linéaires de A et I qui commutent.

[Julien34]

QP est forcément égale à PQ car P et Q sont combinaisons linéaires de A et I qui commutent.

Oui merci, j'avais mis ça ^^

En tout cas merci beaucoup pour l'aide

[Julien34]

Bonjour, excusez moi, en relisant mon DM un doute me survient concernant le 1er exercice du DM que je n'ai pas posté ici, il s'agit d'une réponse par absurdité et je ne pense pas avoir trouvé la réponse exacte.

[paquito]

Je ne sais pas trop de quel théorème tu dispose;
Un résultat serait: la 1°ligne de K est la 2) ligne multiplié par -1; mais je pense que ce n'est pas ça que l'on attend! On peut peut être raisonner comme ça:
si K avait Pour inverse A, le système de 3 équations à trois inconnues KX=0 aurait comme solution unique X=A0=0, mais ce système s'écrit:

4x-4y+8z=0
6x-6y+12z=0
2x-2y+4z=0, et admet comme solutions, par exemple (1,1,0) ou(2,0-1), solutions non nulles, donc en contradictions avec K inversible.

[Julien34]

Je ne sais pas trop de quel théorème tu dispose;
Un résultat serait: la 1°ligne de K est la 2) ligne multiplié par -1; mais je pense que ce n'est pas ça que l'on attend! On peut peut être raisonner comme ça:
si K avait Pour inverse A, le système de 3 équations à trois inconnues KX=0 aurait comme solution unique X=A0=0, mais ce système s'écrit:

4x-4y+8z=0
6x-6y+12z=0
2x-2y+4z=0, et admet comme solutions, par exemple (1,1,0) ou(2,0-1), solutions non nulles, donc en contradictions avec K inversible.

Merci une fois de plus de ta réponse, j'ai essayé de comprendre, mais une partie reste assez flou à mes yeux, peux tu m'expliquer cette partie là de ta réponse s'il te plait, " le système de 3 équations à trois inconnues KX=0 aurait comme solution unique X=A0=0". Concernant le reste de la démarche j'ai suivis, je ne comprends juste pas pourquoi cette phrase. Merci par avance :')

[paquito]

Merci une fois de plus de ta réponse, j'ai essayé de comprendre, mais une partie reste assez flou à mes yeux, peux tu m'expliquer cette partie là de ta réponse s'il te plait, " le système de 3 équations à trois inconnues KX=0 aurait comme solution unique X=A0=0". Concernant le reste de la démarche j'ai suivis, je ne comprends juste pas pourquoi cette phrase. Merci par avance :')

Si K est inversible, d'inverse A, l'équation KX =Y admet pour solution unique X=AY, avec X=(x,y,z) et Y=(x',y',z'); donc si Y=(0,0,0), forcément X=(0,0,0); donc si K est inversible, KX=0 avec 0=(0,0,0) admet comme solution unique X=A0 =0; comme Kx=0 admet une infinité de solutions, K ne peut être inversible car sinon l'unique solution serait X=(0,0,0); donc K n'est pas inversible!

[Julien34]

Si K est inversible, d'inverse A, l'équation KX =Y admet pour solution unique X=AY, avec X=(x,y,z) et Y=(x',y',z'); donc si Y=(0,0,0), forcément X=(0,0,0); donc si K est inversible, KX=0 avec 0=(0,0,0) admet comme solution unique X=A0 =0; comme Kx=0 admet une infinité de solutions, K ne peut être inversible car sinon l'unique solution serait X=(0,0,0); donc K n'est pas inversible!

Au bout de trois lectures j'ai enfin réussi à comprendre (Alelujah!)

Merci beaucoup, bonne fin de soirée à toi!

[paquito]

Au bout de trois lectures j'ai enfin réussi à comprendre (Alelujah!)

Merci beaucoup, bonne fin de soirée à toi!

bonne soirée à toi!