DM terminale S, suite et fonction exponentielle

[shaunarbt]

f(n+1) est la dérivée de f(n) par l'énoncé.
On te dit que f(1) , f(2) , .... sont les dérivées successives de f.

Tu veux démontrer par récurrence que f(n) est de la forme (x² +anx +bn)e^x
Pour cela tu supposes que c'est vrai pour f(n).
Tu calcules f(n+1) = (f(n))'
Tu dois alors avoir f(n+1) qui est de la forme (x² + a(n+1)x + b(n+1))e^x

Pour la question 1b) à la fin de mon hérédité je trouve:
f(n+1)=(x^2+a(n+1)(x)+b(n+1)(x)xe^x
= (x^2+(an+2)(x)+(an+bn))e^X (d'apres l'énoncé de la question 2.)

ou alors, je n'ai pas le droit de me servir de la suite de l'énoncé et je conclue juste en disant
f(n+1)=(x^2+a(n+1)(x)+b(n+1)(x)xe^x
=f'(x)
= e^x(x^2+3x+2) (d'après la dérivé de la question 1a)

Et je conclue en disant que pour tout entier n, on a f(n)=(x^2+a(n)(x)+b(n)(x))e^x

[titine]

Comment puis-je insérer une photo ?

http://www.maths-forum.com/heberger-une-image-puis-l-inserer-un-message-119995.php

[shaunarbt]

Voici la question 2 b) et c)

[titine]

Pour la question 1b) à la fin de mon hérédité je trouve:
f(n+1)=(x^2+a(n+1)(x)+b(n+1)(x)xe^x
= (x^2+(an+2)(x)+(an+bn))e^X (d'apres l'énoncé de la question 2.)

ou alors, je n'ai pas le droit de me servir de la suite de l'énoncé et je conclue juste en disant
f(n+1)=(x^2+a(n+1)(x)+b(n+1)(x)xe^x
=f'(x)
= e^x(x^2+3x+2) (d'après la dérivé de la question 1a)

Et je conclue en disant que pour tout entier n, on a f(n)=(x^2+a(n)(x)+b(n)(x))e^x

Tu supposes que f(n) (x) = (x² + a(n)x + b(n)) e^x
Tu dérives et eu trouves :
f(n+1) (x) = (f(n))' (x) = (x² + (a(n) + 2)x + (a(n) + b(n))) e^x
Donc f(n+1) (x) est bien de la forme (x² + a(n+1)x + b(n+1)) e^x
avec a(n+1) = a(n) + 2 et b(n+1) = a(n) + b(n)

[shaunarbt]

Très bien. Je comprend. Pour la récurrence je me sers essentiellement de l'énoncé, et de la dérivé de f(x). Maintenant pour la question 2) b et c, comment puis je faire, je ne comprend pas ce symbole de "somme"

[mathelot]

on calcule (c'est du cours, suite arithmétique de raison r=2)

(1)

on somme les égalités (1) de k=0 à (n-1) , soit n égalités en tout

la somme des termes est téléscopique et se simplifie en

[titine]

As tu compris l'explication de mathelot ?

On a b(n+1) = a(n) + b(n)
Donc :
b(2) = a(1) + b(1)
b(3) = a(2) + b(2)
b(4) = a(3) + b(3)
......................
b(n) = a(n-1) + b(n-1)

En additionnant membre à membre toutes ces égalités :
b(2)+b(3)+b(4)+...+b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)+b(2)+b(3)+...+b(n-1)
En simplifiant il reste :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)
Or b(1) = 2 donc on a bien :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + 2

Pour l'expression de b(n) :
On sait calculer a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) (somme des termes d'une suite arithmétique.
Donc on en déduit b(n)

Pour c) :
il suffit de calculer a(2013) et b(2013) avec les expressions trouvées et on a f(2013)

[shaunarbt]

Je ne vois pas comment calculer ces termes pour en déduire l'expression de bn.
a1=3 ; a2=5 ; a3= 7 ect.. Mais je ne vois pas quoi faire d'autre pour en déduire bn..
B(n+1)= b(n) + (a(n)+2) ?

[shaunarbt]

Par ailleurs, je ne comprend pas l'explication de mathelot.

[titine]

As tu compris ceci :

On a b(n+1) = a(n) + b(n)
Donc :
b(2) = a(1) + b(1)
b(3) = a(2) + b(2)
b(4) = a(3) + b(3)
......................
b(n) = a(n-1) + b(n-1)

En additionnant membre à membre toutes ces égalités :
b(2)+b(3)+b(4)+...+b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)+b(2)+b(3)+...+b(n-1)
En simplifiant il reste :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)
Or b(1) = 2 donc on a bien :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + 2

?


Ensuite, pour exprimer b(n) :
b(n) = a(1)+a(2)+...+a(n-1) + 2
On commence par calculer a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) (somme des termes d'une suite arithmétique.
Si tu ne te rappelles pas la formule tu peux la trouver par exemple : ici

[shaunarbt]

Je sais d'apres mon cours de premiere que la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes. Mais je n'ai jamais utilisé cette formule du coup je ne vois pas comment l'utiliser.

[shaunarbt]

Oui pour la démonstration j'ai compris ce que je n'arrive pas à faire c'est trouver l'expresson de bn. D'apés la formule Sn=n(2+Un)/2 ? Comment cela m'aide à trouver Bn?

[titine]

Je sais d'apres mon cours de premiere que la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à la demi-somme des premier et dernier termes, multipliée par le nombre de termes. Mais je n'ai jamais utilisé cette formule du coup je ne vois pas comment l'utiliser.

C'est ça, donc :
(an) étant une suite arithmétique,
a(1) + a(2) + ... + a(n-1) = (1er terme + dernier terme) * nombre de termes /2
= (a(1) + a(n-1))*(n-1)/2
(en effet de a(1) à a(n-1) il y a (n-1) termes)

Ça va ?

Or a(1) = 3
Et on a vu que a(n) = 1 + 2n donc a(n-1) = 1 + 2(n-1) = 2n- 1
Donc a(1) + a(2) + ... + a(n-1) = ...

[shaunarbt]

Sn=(3+2n-1)*(n-1)/2 ?

[titine]

Sn=(3+2n-1)*(n-1)/2 ?

Oui et donc comme b(n) = Sn + 2 ....

As tu bien compris tout ce que je t'ai expliqué ?

[shaunarbt]

Oui mais pourquoi Bn= Sn + 2 ?
C'est parce que b1=2 ?
Après je met au même dénominateur ? Ou je laisse Sn + 2 ?

[titine]

On a vu que :

On a b(n+1) = a(n) + b(n)
Donc :
b(2) = a(1) + b(1)
b(3) = a(2) + b(2)
b(4) = a(3) + b(3)
......................
b(n) = a(n-1) + b(n-1)

En additionnant membre à membre toutes ces égalités :
b(2)+b(3)+b(4)+...+b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)+b(2)+b(3)+...+b(n-1)
En simplifiant il reste :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + b(1)
Or b(1) = 2 donc on a bien :
b(n) = a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n-1) + 2

Donc b(n) = (3+2n-1)*(n-1)/2 + 2 = (2+2n)(n-1)/2 + 2 = 2(n+1)(n-1)/2 + 2
= (n+1)(n-1) + 2 = n² - 1 + 2 = n² + 1

[shaunarbt]

Je vois. Donc on a b(n)= n^2+1 et a(n)= 1+2n
Ainsi pour f(2014), je cherche b(2014)= 2014^2+1 et a(2014)= 1+2x2014

[titine]

Je vois. Donc on a b(n)= n^2+1 et a(n)= 1+2n
Ainsi pour f(2014), je cherche b(2014)= 2014^2+1 et a(2014)= 1+2x2014

Oui, c'est ça.

[shaunarbt]

Je fais la somme de a(2014)+b(2014) ?