Exercice nombre complexes

[Harmonie]

Bonjour bonjour !

J'ai un exercice à faire, et je sèche sur la première question.. Pardon pour l'aspect si peu mathématique, je ne peux faire mieux pour l'instant.

1)Représenter les points du plan dont l'affixe z appartient à C

a) |z-1| = |z|
b) 1 ;)|z-2 ei(pi/3) | ;)2
c) arg(z²) congru à pi [2pi]

J'aurais besoin d'aide, d'indications à la résolution, ce n'est peut-être pas compliqué, mais je ne vois pas comment faire et je tourne en rond..

[mathelot]

bonsoir,

est la distance euclidienne de à

est de module 1

[Harmonie]

Bonsoir mathelot,

J'avais effectivement pensé à tout ça, mais je me disais que ça ne menait pas dans la bonne direction.

a) En fait, je m'était dit qu'on avait z' = 1, soit que z était un réel pur puisque Im(z)=y=0. Ce que je n'arrivait pas à comprendre, c'est comment|z-1|=|z| est possible. Avec M(z) et M'(z)
Je me suis lancée dans le calcul de z-1 et de son module

z = x + i y
z' = z-1 = x + iy - 1
|z'| = R(x² + y² + 1) = x + y + 1,

mais je ne sais pas comment placer quelque chose comme ça sur sur le cercle..

J'ai cherché comment faire autrement

|z| = |z-1| |z|² = |z-1|²
x² + iy² = (x-1)² + y²
= x² + 1 - 2x
= 1 - 2x
d'où x = 1/2

|z|² = 1
1/4 + y² = 1
y² = 3/4

y= R(3)/2 ou y = - R (3)/2

J'ai M(1/2 ; + ou - (3)/2) ) et ça je sais le placer sur le cercle.



b) 1 |z-2 ei(pi/3) | 2
| ei (pi/3) |;) |r ei (pi/3)| - |(2 ei (pi/3))²| 4 ei (pi/3)

Du coup je me suis dis qu'avec
z" = 2 ei (pi/3) = 2 cos (pi/3) + isin(pi/3)

--> cos (O) = x / r
donc x = 2 cos (O) = 2 cos pi/3
or cos pi/3 = 1/2 donc 2 cos pi/3= 1
d'où x= 1

--> sin (O) = y / r
donc y = 2 sos (O) = 2 sin pi/3
or sin pi/3 = R(3) / 2 donc 2 sin pi/3 = 2R(3)/2 = R(3)
d'où y = R(3)

J'ai trouvé donc M ( 1, R(3) ). N'étant pas sure de la méthode à employer, j'ai préféré ne rien écrire. Est-ce un raisonnement correct ? Le résultat l'est-il aussi ?


c) arg(z²) = 2 arg z, donc il existe un réel k appartenant aux entiers relatifs tel que
x - y = k pi, mais je ne sais pas pousser ma démarche plus loin.

[Harmonie]

Personne pour m'éclairer ? :id:

[mathelot]

bonjour,

essaie la géométrie élémentaire au lieu de calculer (pour 1 et 2)

[mathelot]

bonjour,


l'interprétation géométrique des nombres complexes (cf Argand) indique

i) c'est la médiatrice de [0;1]
ii) c'est une couronne fermée centrée au point d'affixe

iii)



on obtient l'axe y'oy privé de l'origine O