Probablilité

[titijuju97]

En 1964, des lois furent promulguées aux Etats-Unis afin de lutter contre les discriminations dont
étaient victimes les minorités ethniques.

Le gouvernement américain attaqua en justice le réseau d'établissements scolaires de Hazelwood Indépendant School District (situé dans le comté de Saint Louis) car, parmi les 405 enseignants recru- tés lors des années 1972 à 1974, il n'y avait eu que 15 enseignants noirs recrutés alors que dans l'ensemble du comté le taux d'enseignants noirs recrutés durant la même période avait été de 15,4%.

1) Expliquer pourquoi on peut simuler la désignation d'un enseignant dans le réseau d'établissements de Hazelwood sur un tableur à l'aide de la formule =ENT(ALEA()+0,154) ou sur une calculatrice à l'aide de la formule Int(rand()+0,154) ou Ent(NbrAlea+0,154).

2) Ecrire un algorithme et un programme pour que la calculatrice affiche le nombre d'enseignants noirs recrutés pour une simulation du recrutement de 405 enseignants. Modifier ce programme pour que la calculatrice affiche le nombre moyen d'enseignants noirs recrutés pour 20 simula- tions du recrutement de 405 enseignants. Faire fonctionner ce programme (attention, l'exécution de ce programme peut être assez longue), qu'observez-vous ?

3) Peut-on utiliser la formule ;)p ;) 1/ n; p + 1/ n ;) pour obtenir l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% des échantillons du recrutement des 405 enseignants ?
Utiliser une loi binomiale et votre calculatrice ou un tableur pour obtenir l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Que pouvez-vous en conclure ?

4) Pour réfuter la thèse de discrimination, les avocats d'Hazelwood ont contesté la pertinence des chiffres cités par l'accusation. Le taux d'enseignants noirs recrutés dans ce comté était, selon eux, faussé par les modalités particulières de recrutement dans la ville même de Saint Louis. En effet, durant cette même période, une politique dite de discrimination positive visait à essayer de recruter 50% de noirs parmi les nouveaux enseignants dans la ville de Saint-Louis. Ainsi, en ne prenant en compte que les enseignants noirs recrutés dans le comté de Saint Louis en dehors de la ville de Saint Louis, ce taux n'était plus que de 5,7%.
L'utilisation de cette nouvelle proportion pour déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% change-t-elle la conclusion faite au 3) ?


1) La fonction ENT retourne la partie entière d'un nombre, et la fonction ALEA retourne un nombre au hasard entre 0 et 1, ainsi cette formule retourne 1 seulement si le résultat de ALEA est supérieur ou égale à (1-0,154) (en ajoutant 0,154 on sera donc supérieur à 1), ce qui veut dire que la formule retourne 1 dans 15,4% des cas et 0 sinon.

t(alea()+0.154), suffit d'interpréter :
alea() donne un nombre (pseudo-)aléatoire entre 0 et 1 (je crois que c'est dans ]0;1[, à confirmer).
Le fait de rajouter 0.154 fait que la probabilité de voir un nombre au delà de 1 est de 0.154 (donc 15.4%).
Et Ent(toutça) donne donc à 15.4% de chance un 1, sinon un 0.

[Thomas Joseph]

Quelle est ta question ?

[titijuju97]

Pour la question 2... je ne sais pas comment m'y prendre.... merci :)

[titijuju97]

1)
t(alea()+0.154), suffit d'interpréter :
alea() donne un nombre (pseudo-)aléatoire entre 0 et 1 (je crois que c'est dans ]0;1[, à confirmer).
Le fait de rajouter 0.154 fait que la probabilité de voir un nombre au delà de 1 est de 0.154 (donc 15.4%).
Et Ent(toutça) donne donc à 15.4% de chance un 1, sinon un 0.

2) Je n’arrive pas à écrire d’algorithme…
Quelqu’un peut m’aider pour cette question, merci ;)

3) Pour des échantillons de taille n ;) 25 et une proportion p du caractère dans la popula- tion telle que 0,2 ;) p ;) 0,8, la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’inter-
valle [p;) (1/ root n );p+ 1/ (root n) ]une probabilité proche de 0,95 et d’au moins 0,95. Donc on …
Comme je n’ai pas réussi la question 2) je ne peux pas continuer
Merci d'avance! :)

[paquito]

Je te propose un programme sur TI, facilement adaptable sur casio ou sur algobox:

:o->T
:For(K,1,405)
:If ent(NbrAleat+0;154)=1
:Then
:T+1->T
:End
:End
:Disp T

je l'ai testé 2 fois, ça m'a donné 69 puis 55.
Pour le programme suivant,

tu ajoutes au début:

:0->S
:For (I,1,20)
....
à la fin, tu remplaces Disp T par
:T+S->S
:End
:Disp S/20

Je l'ai testé, il me donne 62,1; remarque: 0,154x405=62,37.

[titijuju97]

Merci beaucoup! :) Je ne sais as quoi dire, mais merci!

[titijuju97]

Je ne comprend pas la question 4....

Merci! :)

[Thomas Joseph]

Avec la nouvelle proportion de 5,7%, l'intervalle de fluctuation devient : [14/405;33/405]

Si le recrutement est non discriminatoire alors avec une probabilité de 95% le nombre d'enseignants noirs recrutés est compris entre 14 et 33.

Le nombre 15 appartient à cet intervalle. L'établissement ne peut donc pas être considéré comme discriminatoire par utilisation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

[titijuju97]

Merci! :) Voici ce que j'ai fais:

1)
=ENT(alea()+0.154), suffit d'interpréter :
alea() donne un nombre (pseudo-)aléatoire entre 0 et 1 (je crois que c'est dans ]0;1[, à confirmer).
Le fait de rajouter 0.154 fait que la probabilité de voir un nombre au delà de 1 est de 0.154 (donc 15.4%).
Et Ent(toutça) donne donc à 15.4% de chance un 1, sinon un 0.

2) :o->T
:For(K,1,405)
:If ent(NbrAleat+0;154)=1
:Then
:T+1->T
:End
:End
:Disp T

je l'ai testé 2 fois, ça m'a donné 69 puis 55.


3) Pour des échantillons de taille n ;) 25 et une proportion p du caractère dans la popula- tion telle que 0,2 ;) p ;) 0,8, la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’inter-
valle [p;) (1/ root n );p+ 1/ (root n) ]une probabilité proche de 0,95 et d’au moins 0,95.


J’ajoute au début:

:0->S
:For (I,1,20)

à la fin, je remplace Disp T par
:T+S->S
:End
:Disp S/20


Je l'ai testé, il me donne 62,1; remarque: 0,154x405=62,37.



4) Avec la nouvelle proportion de 5,7%, l'intervalle de fluctuation devient : [14/405;33/405]

Si le recrutement est non discriminatoire alors avec une probabilité de 95% le nombre d'enseignants noirs recrutés est compris entre 14 et 33.

Le nombre 15 appartient à cet intervalle. L'établissement ne peut donc pas être considéré comme discriminatoire par utilisation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.




Merci beaucoup de votre aide!

[titijuju97]

Bonjour, une derniers question, quelqu'un peu m'expliquer les calcules à faire pour la question 3? merci :)

[Thomas Joseph]

J'ai utilisé la calculatrice comme le dit l'énoncé :
représenté graphiquement la loi de probabilité et fait varier les bornes de la zone de sommation.

Pour l'utilisation du graphique ou tableur : tu peux regarder les pages 33 et 34 de ce document :
[url="http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/59/6/Ressource_Statistiques_Probabilites_1eres_208596.pdf"]http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/59/6/Ressource_Statistiques_Probabilites_1eres_208596.pdf[/url]