Cartésien ou fonctionnel?

[Lostounet]

Bonjour,

Suite à une discussion hier avec une taupine en deuxième année, voici une question qui me turlupine.

L'équation cartésienne du cercle unitaire est bien .

On s'est posé la question: Est-il possible de trouver une fonction qui va de [-1 ; 1] et qui lui associe l'objet mathématique "cercle trigo" ?

J'ai proposé la démarche suivante:



On définit alors f sur [-1 ; 1]:

f :
Si x

si x

Est-il alors possible de représenter n'importe quelle courbe plane par une fonction, en renonçant à certaines de ses propriétés? Ici, la continuité?

[chan79]

salut

Une fonction, mais de dans

Au nombre t de [-1,1[, tu fais correspondre le point (cos(pi*t),sin(pi*t))

il y a bijection entre [-1,1[ et le cercle

[Lostounet]

Oui mais justement, puis-je faire du R dans R?

[adrien69]

Salut Lostounet,
Quelle est ta définition d'une courbe plane ?

[Skullkid]

Bonsoir, tout dépend de ce que tu entends par "associer" dans "associer [-1,1] au cercle trigo". Le cercle trigo n'est bien sûr le graphe d'aucune fonction de R dans R, et on ne peut pas non plus trouver de fonction de R dans R dont l'image soit le cercle trigo.

Il faut que tu définisses quels sont les critères qui font que, pour toi, une fonction f de R dans R "associe" [-1,1] au cercle trigo. Si ton critère est que l'adhérence du graphe de f est égale au cercle trigo, alors la fonction que tu donnes en exemple marche. Mais ta fonction ne satisfait pas une propriété du genre "pour toute partition du cercle trigo en une famille d'arcs de même longueur, les images réciproques de ces arcs ont même mesure", puisque presque tout le graphe de ta fonction est inclus dans le demi-plan inférieur.