Définition du plan cartésien

[Dlzlogic]

Bonsoir Skullkid,
C'est tout de même marrant , un coup on ne comprend rien, et après "Mais oui, bien sûr, ça existe depuis 2 siècles". Sur ce point je n'insisterai pas.

Pourquoi voudrais-tu que je t'explique comment je me sers du triplet ?
Un triplet dans le plan comporte 6 constantes. Ce qui représente 6 équations.
En fait c'est plus compliqué puis qu'aucun calculateur (homme) sérieux ne se contera de 3 points, il en utilisera au moins 6, mais là on frôle le hors-sujet : méthode des moindres carrés.

Pour le reste ("affinité = homothétie = application linéaire)". tu me permettras de ne pas répondre.

[Nightmare]

Un triplet dans le plan comporte 6 constantes

Un triplet de quoi?

Je comprends rien à ton charabia. Si seulement tu pouvais être clair.

[Dlzlogic]

Un triplet de quoi?

Je comprends rien à ton charabia. Si seulement tu pouvais être clair.

Bonjour,
Pour calculer les paramètres d'une transformation (c'est à dire les termes de la matrice) il faut connaitre l'objet A et l'objet B tel que la transformation appliquée à l'objet A donne l'objet B.
Dans le cas de similitudes (Translation o Homothétie o Rotation) un couple de point suffit à trouver les paramètres, c'est à dire que le vecteur A sera transformé en vecteur B.

Pour la transformation affine, un couple n'est pas suffisant, il faut trois points que j'appelle triplet.
L'objet A constitué des points A1, A2 A3 sera transformé en objet B, constitué des points B1, B2, B3.

Dans le plan un point est défini par un X et un Y , donc on pourra écrire
Xb1 = TX + XX * Xa1 + XY * Ya1
yb1 = TY + YX * Xa1 + YY * Ya1
Xb2 = TX + XX * Xa2 + XY * Ya2
yb2 = TY + YX * Xa2 + YY * Ya2
Xb3 = TX + XX * Xa3 + XY * Ya3
yb3 = TY + YX * Xa3 + YY * Ya3

C'est un système de 6 équations à 6 inconnues, pas de difficulté pour le résoudre. On notera cependant que les points ne doivent pas être alignés.
Pour en revenir précisément au repère cartésien, si celui d'origine est orthonormé, celui d'arrivée ne le sera pas.

[godzylla]

Il n' y a pas des contraintes lié au mouvement dans un repère cartésiens?
Pourquoi celui d'arrivée ne serais pas orthonormé, si ce n'est que déplacer des points?
Soumettre une fonction à une autre, l'exclurais du label orthonormé c'est bien cela?

[Dlzlogic]

Il n' y a pas des contraintes lié au mouvement dans un repère cartésiens?
Pourquoi celui d'arrivée ne serais pas orthonormé, si ce n'est que déplacer des points?
Soumettre une fonction à une autre, l'exclurais du label orthonormé c'est bien cela?

Je vais essayer d'être clair, mais c'est pas très simple.
Dans le contexte dont je parle, la géographie, la topométrie, la notion de repère cartésien est importante, soit, mais on travaille indifféremment et en même temps dans un (ou des ) repère(s) que je pourrai appeler "central", c'est à dire qu'on ne travaille plus seulement avec des coordonnées cartésiennes, mais aussi des coordonnées polaires.
Quand on dessine un plan ou une carte, on dessine le carroyage, tous les 5 cm ou tous les 10 cm. Si on mesure les coordonnées d'un point, on va les mesurer dans son carreau. C'est à dire que le repère soit (strictement) orthonormé ou pas, on s'en fiche.

"Pourquoi celui d'arrivée ne serais pas orthonormé, si ce n'est que déplacer des points?"
En fait c'est ça le point important. Je vais détailler un cas typique pour essayer d'être clair.
Vous recevez par internet un document qui a été réalisé, par scan, à partir d'un autre document. On pose par hypothèse, et c'est toujours le cas, que ce document a été déformé.
Or vous disposez par ailleurs, d'un document avec la qualité "numérique", par exemple le plan cadastre informatisé (PCI). Vous souhaitez fait une superposition de ce qui se trouve sur le document reçu, avec votre document.
Vous allez repérer quelques points, disons 6, que vous pouvez identifier sur les 2 documents. Ceci vous permettra de faire un changement de base par transformation affine.

Dans cet exemple, naturellement le repère de départ n'est pas orthonormé, puisque l'image est déformée, alors que le repère d'arrivée est orthonormé, en tout cas, on le suppose.

Autre application, soit 2 cartes au 1/25000, sur papier, ou fichier numérique, qui ont une limite commune. Vous n'arriverez pas à les recoller sans faire de pli. Pourtant, le système Lambert est un système orthonormé, mais sa représentation avec le moins de déformation possible n'est pas orthonormée.

Il y a une extension particulièrement intéressante à cela.
Vous prenez une photographie, supposons avec un appareil parfait, d'une façade de bâtiment que l'on suppose parfaitement plan et vertical.
Donc, l'objet est orthonormé, par contre l'image ne l'est pas, même si le nombre et la dimension des pixels en hauteur et en largeur est pareille partout.
Une opération de transformation qui s'apparente à la transformation affine permet de redresser l'image. On travaille bien avec un repère cartésien, mais il n'est ni ortho, ni normé, et pourtant, ça marche.

[godzylla]

j'ai travaillé sur une ihm de gps, j'en garde de mauvais souvenir, il y a de quoi attraper le tournis.

là, je m’intéresse plus au logarithme, la trigo et leur représentation sur une surface plane.
la question du nombre de dérivé d'un repère cartésiens qui si j'ai bien compris se limite à 3.

vous me rappeler cela :
Néper définit le logarithme comme le rapport de la distance à parcourir de deux mobiles, l’un se déplaçant à vitesse constante et l’autre à vitesse proportionnelle à la distance restant à parcourir. Le logarithme est alors le rapport de deux nombres.

si je me souviens il faut encore combiner cela à des trajectoires qui sont tridimensionnel.

"Une opération de transformation qui s'apparente à la transformation affine permet de redresser l'image. On travaille bien avec un repère cartésien, mais il n'est ni ortho, ni normé, et pourtant, ça marche"
quand vous dites que cela marche , vous réussissez à voir l'image?il faut 3 photos pour retrouver les proportions.

vous utilisez quel outils mathématiques pour faire cela?

[Dlzlogic]

Bonsoir,
J'ai un article assez complet sur le calcul numérique et l'utilisation des logarithmes en particulier.

vous utilisez quel outils mathématiques pour faire cela?

Que vous répondre, papier et crayon, puis j'écris le programme pour le réaliser.
Les perspectives obéissent à des relations géométriques très précises. Une fois qu'on s'en est persuadé, il n'y a plus qu'à écrire et résoudre les équations et trouver quelques astuces pour que ce soit facilement utilisable. Mais là il me semble qu'on s'écarte du sujet.
Je suis tout prêt à tout expliquer, mais pour éviter les foudres de la modération, il serait bon de créer une autre discussion. Etant donné le niveau, ce serait plus dans la section "supérieur" ou "café
mathématique".
Bonne soirée :dodo: