Définition du plan cartésien

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Jo.video2brain
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Définition du plan cartésien

par Jo.video2brain » 12 Nov 2011, 06:08

Bonjour,
Est-ce que dire: dans un repère orthogonal du plan cartésien est une grosse erreur ?
Par définition le plan cartésien est-il forcément muni d'un repère orthonormée ?
Qu'est-ce qu'un plan cartésien ?

Car j'ai pu lire: "Plan physique ou géométrique muni d'un repère cartésien orthonormé."



JackeOLanterne
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Le plan cartésien

par JackeOLanterne » 12 Nov 2011, 11:56

La définition est dans n'importe quel cours sous Google (exemple).

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 12 Nov 2011, 15:01

Bonjour,
A lire le message de Jo, il a fait des recherches.
Je ne suis pas sûr que lui donner un lien sur un autre cours soit la bonne solution. II cherche à lever un doute sur un terme précis. Il se trouve que ça m'intéressait aussi (pour cause de remise à niveau en cours), et quand j'ai vu que le cours commençait pas l'historique, puis par définir "abscisse" et "ordonnée", j'ai vite refermé.

Jo.video2brain
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par Jo.video2brain » 12 Nov 2011, 15:15

Oui exactement !
Je me demande si l'on peut munir le plan cartésien d'un repère orthogonal ou si cela n'a pas de sens.
Car j'ai pu lire dans des livres "dans le plan cartésien muni d'un repère orthonormé" donc est-ce un pléonasme ou alors est-ce que l'on peut munir le plan cartésien d'un repère orthogonal ?

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 12 Nov 2011, 16:06

Bon, je vous donnerai mon avis personnel.
Pour moi, plan cartésien signifie 2 axes non parallèles donc qui défissent un plan.
De plus chaque axe a une norme, qui est une unité de mesure.
On aurait très bien pu imaginer un plan ne comportant pas d'axe, mais un centre. Il s'agirait alors d'un plan non cartésien.

Ce plan cartésien peut être en plus orthonormé, en ce cas les 2 axes sont perpendiculaires et les longueurs des unités en X et en Y sont les mêmes.

Mais ceci n'est que mon opinion personnelle.

Jo.video2brain
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par Jo.video2brain » 12 Nov 2011, 16:15

Je partage exactement le même point de vu mais ceci étend dis je ne comprends pas pourquoi avoir trouver la définition ci-dessus ...
Et je vois dans tous les livres lorsque l'on parle de plan cartésien il y a toujours un repère orthonormé on peut même aller voir le lien ci dessus.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 12 Nov 2011, 16:39

Pour le même type de raison que quand on donne des exemples de rotation, on montre une rotation à 45°.
J'ai un exemple très caractéristique.
Il existe un type de fichier qui s'appelle World File. La documentation du créateur (Esri de mémoire) est claire et sans interprétation possible. Or elle met en œuvre des notions parfois inconnues, alors, certains on cru bon de faire un article dans WikiMachin (les habitués reconnaitront). Il y a la version anglaise et la version française. Ces deux versions sont différentes, mais ont un point commun, elles racontent les mêmes bêtises.
Il y a quelques années, j'ai mis en garde le milieu utilisateur de ce fichier, de ces erreurs. Comme c'était écrit sur Wiki, c'était forcément bon.
Dernièrement j'ai lu un article disant "enfin la version anglaise et la version française sont d'accord". J'y suis allé voir hier, c'est toujours faux.

godzylla
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Forum Définition du plan cartésien

par godzylla » 09 Mar 2012, 10:43

c'est à cause de l'axiome d’Euclide des parallèles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_des_parall%C3%A8les.
si j'ai bien compris, il y a des repères non euclidien (cf Riemann) ou 3 angles perpendiculaires forment un triangle équilatérale ( dans une sphère) http://www.astrosurf.com/luxorion/relativite-geometrie-noneuclidienne.htm

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Mar 2012, 14:35

godzylla a écrit:c'est à cause de l'axiome d’Euclide des parallèles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_des_parall%C3%A8les.
si j'ai bien compris, il y a des repères non euclidien (cf Riemann) ou 3 angles perpendiculaires forment un triangle équilatérale ( dans une sphère) http://www.astrosurf.com/luxorion/relativite-geometrie-noneuclidienne.htm

Je comprend pas très bien votre réponse.
La question portait sur le rapport entre "plan cartésien" et "repère orthonormé".
La base de géométrie utilisée, en l'occurrence Euclidienne, n'intervient pas.
Il est vrai que le plan cartésien admet les parallèles, comme toute la géométrie représentable, en particulier la géométrie analytique.
Sans aller chercher des notions de géométrie imaginaire, il existe un système de coordonnées non cartésien très utilisé : les coordonnées géographiques.

godzylla
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par godzylla » 09 Mar 2012, 16:10

vous parliez bien d'un type de fichier qui s'appelle World File?

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Mar 2012, 16:17

godzylla a écrit:vous parliez bien d'un type de fichier qui s'appelle World File?
Oui, exactement.

Nightmare
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par Nightmare » 09 Mar 2012, 16:56

Plan cartésien veut dire qu'on a au minimum deux axes perpendiculaires, mais a priori pas forcément les mêmes graduations.

La phrase "Dans le plan cartésien muni d'un repère orthonormée" n'est pas un pléonasme et n'a pour but que de préciser que le repère employé en plus d'être normal est normé.

Dans le même genre, il n'y a aucun problème à dire "Dans un groupe muni d'une loi commutative".

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Mar 2012, 17:16

Nightmare a écrit:Plan cartésien veut dire qu'on a au minimum deux axes perpendiculaires, mais a priori pas forcément les mêmes graduations.
Donc, je fais bien de me remettre à niveau : citation "Représentation cartésiennes à échelles métriques sur des axes obliques." P. Thuillier. Je sais que ce n'était pas une référence en mathématiques, puisque c'était surtout un physicien. Il ne pouvait pas se tromper à ce point là, donc les définitions ont changé.

Nightmare
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par Nightmare » 09 Mar 2012, 17:20

Je pense surtout que "plan cartésien" fait parti de ces notions qui n'ont pas de définition historique propre autre que celle qu'on a bien envie de lui donner.

Skullkid
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par Skullkid » 09 Mar 2012, 17:23

Pour le coup je serais plutôt de l'avis de Dlzlogic : la définition qu'on m'a enseignée c'est repère cartésien = une origine et une base fixées (pas forcément orthogonale, la base) et plan cartésien = plan muni d'un repère cartésien.

Après, en pratique, on utilise quasiment tout le temps un repère orthonormé donc je fais systématiquement l'abus de langage cartésien = orthonormé. Donc bon...

Edit : oui Nightmare a sans doute raison dans son dernier post, ça doit faire partie des termes qui n'ont jamais reçu de définition propre. Si on veut parler d'un repère orthonormé il est toujours mieux d'écrire clairement qu'il est orthonormé.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 09 Mar 2012, 18:00

Bon, puisque le débat est ouvert, je vais apporter une petite précision complémentaire.
La seule différence, à mon avis, entre un repère cartésien normé et un repère cartésien orthonormé est que dans le premier, la notion d'angle droit (ie le quart d'un cercle) n'existe pas, alors que dans le second, elle existe.
Lorsqu'on réalise le calage d'un plan avec une transformation affine, on déforme les angles, les rapports de distance, mais pas le parallélisme. C'est cette transformation qui est habituellement utilisée si on est exigeant sur la précision du résultat.
A noter que rien ne dit que l'unité en X est de même longueur que celle en Y, mais elles existent et sont définies. Le repère est donc normé.

Il apparait qu'on appelle maintenant "affine" la fonction y=ax+b. La transformation affine est le produit d'une translation, d'une rotation, d'une homothétie et d'une affinité.
Soient 2 objets qui se déduisent l'un de l'autre par une transformation affine, celle-ci est unique.
Par contre si ces 2 objets se déduisent l'un de l'autre par une similitude, il existe une infinité de similitudes qui permettront de passer d'un objet à l'autre. La similitude est le produit d'une translation, d'une homothétie et d'une rotation.

Sylviel
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par Sylviel » 09 Mar 2012, 19:15

Je ne suis pas expert en géométrie mais il y a deux ou trois trucs qui me chiffonnent dans tes dernières affirmations :
- l'orthogonalité découle du produit scalaire et non pas du repère.
- A chaque fois que j'ai entendu parlé d'un repère "normé" cela signifiait que les vecteurs du repère étaient de même norme.
- Une fonction affine est, de manière générale, la somme d'une translation et d'une application linéaire. C'est bien le cas pour la fonction y=ax+b. C'est aussi le cas pour les transformations que tu as évoqué. On ne parle juste pas du même espace de départ et d'arrivée. En revanche ta définition ne donnes que les transformation affine de R² dans lui même, ou éventuellement de R3 dans lui même (si je ne m'abuses).
- le fait qu'un "objet" est l'image d'un autre par une transformation affine ne permet pas de l'identifier : {0} est l'image de {0} par n'importe quelle application linéaire.
- Une similitude étant une transformation affine (avec tes définitions) tes deux dernières phrases sont contradictoires.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Nightmare
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par Nightmare » 09 Mar 2012, 19:17

Une similitude est une transformation affine et il n'y a pas unicité de la transformation affine qui transforme un point en un autre.

Ensuite j'ai du mal à saisir le but de tes propos au sein du topic. Qu'essayes-tu d'expliquer ou de montrer?

Edit : Cf les propos de Sylviel pour plus de détails :lol3:

godzylla
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par godzylla » 09 Mar 2012, 19:26

je ne sais pas si représenter les nombres complexes sur un repere orthonormé reste cartésien?
il y a bien une frontière entre la trigonométrie et les fonctions algébrique.

Skullkid
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par Skullkid » 09 Mar 2012, 22:14

Dlzlogic a écrit:Je vais essayer d'expliquer mon propos.
On appelle (ou appelait) une transformation affine, le produit d'une translation, d'une homothétie, d'une rotation et d'une affinité.
Il est bien évident que la translation seule ou l'homothétie seule, ou la rotations seule ou l'affinité seule sont des cas particulier de la transformation affine, donc sont aussi des transformations affines.
Mais dans le cas de calage ce plan, l'objet de mon intervention, même ces cas particuliers existent, ils ne présentent pas beaucoup d'intérêt.
La formule de la transformation affine est de la forme suivante
X = DX + XX.x + XY.y
Y = DY + YX.x + YY.y
où x et y sont les coordonnées de départ,
X et Y sont les coordonnées d'arrivée,
DX et DY sont les paramètres de translation,
XX, XY, YX, YY sont les paramètre de Homothétie o Rotation o Affinité
Lorsque le rapport d'affinité est 1 (cas particulier), le système s'écrit
X = DX + RX.x + RY.y
Y = DY + RY.x - RX.y
où RX et RY sont les paramètres de Homothétie o Rotation
Le nombre de signes '-' est obligatoirement impair.


Tout ce que tu dis là est juste, et correspond à la définition générale de transformation affine : c'est une transformation linéaire + une translation. Quand tu dis que ces notions étaient réservées à une élite ça me fait vraiment tiquer, parce que c'est de l'algèbre linéaire basico-basique... Sauf erreur, ce genre de choses a été complètement maîtrisée au plus tard pendant le XIXème, et la formalisation moderne avec les structures et tout le tintouin date du début du XXème.

Pour l'histoire de l'affinité, c'est vrai que le fait que "transformation affine" et "affinité" ne veulent pas dire la même chose peut être troublant. Mais dans ce que tu viens d'écrire, tu dis toi-même que l'affinité n'est qu'un cas particulier de transformation affine. y = ax+b c'est un cas particulier de transformation affine (de R dans R), qui n'est pas forcément une affinité (quand on se place de R dans R, affinité = homothétie = application linéaire).

Dlzlogic a écrit:Pour définir une transformation affine dans le plan, il faut un triplet. C'est une condition nécessaire et suffisante. Rien n'interdit que l'un des 3 points soit 0 (0; 0; 0).


Pour dire ça il faut que tu expliques comment tu te sers de ton triplet de points pour définir ta transformation affine, sinon la phrase ne veut rien dire...

Sinon, comme Nightmare et Sylviel, je vois pas trop le rapport avec le lien entre orthonormé et cartésien...

 

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