J'ai essayé de la prouver par récurrence mais cela n'a rien donné de probant...
Quelqu'un aurait une idée?
Merci d'avance pour vos réponses.
Quietstorm
Somme de factoriels égaux à 2^(2*n)
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Somme de factoriels égaux à 2^(2*n)
par quietstorm » 08 Mar 2014, 14:58
Bonjour à tous ! Je suis en prépa PC et je n'arrive pas à prouver l'égalité suivante.
!\times(2(n-k))!}{{k!}^2\times{(n-k)!}^2}}=2^{2n})
J'ai essayé de la prouver par récurrence mais cela n'a rien donné de probant...
Quelqu'un aurait une idée?
Merci d'avance pour vos réponses.
Quietstorm
J'ai essayé de la prouver par récurrence mais cela n'a rien donné de probant...
Quelqu'un aurait une idée?
Merci d'avance pour vos réponses.
Quietstorm
par Ben314 » 08 Mar 2014, 16:36
Question : tu as vu les séries entières ?
Si oui, tu utilise (aprés l'avoir démontré si tu ne l'a pas déjà vu) le fait que :
(avec un rayon de convergence égal à 
)
Et tu fait le produit de cette série avec elle même : ça te donne le résultat.
Si oui, tu utilise (aprés l'avoir démontré si tu ne l'a pas déjà vu) le fait que :
Et tu fait le produit de cette série avec elle même : ça te donne le résultat.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par quietstorm » 12 Mar 2014, 21:11
Ben314, merci beaucoup pour votre réponse aussi précise et aussi rapide et désolé de répondre aussi tardivement...
Effectivement, j'ai vu les séries entières.
Donc en considérant l'égalité,
, et en utilisant le produit de Cauchy de la série avec elle-même, on trouve donc:
}{n-i}\right] x^n = \dfrac{1}{1-4x})
Or, sachant que:
On en déduit l'égalité voulue en identifiant les coefficients.
Le souci est que je n'ai jamais démontré la première égalité sur lequel tout le raisonnement se base...
On l'a peut-être fait en TD, mais je suis passé à côté...
En me renseignant sur internet, j'ai vu qu'une manière de le montrer était la suivante:
Montrer que:
^n}{4^n}\binom{2n}{n})
Cela se démontre sans trop de souci en développant l'expression
Puis utiliser le développement en série entière de^y)
avec x=-4 et y=-1/2 que pour le coup, j'ai déjà vu :
^y =1+\sum_{n=1}^{+\infty}{\binom{y}{n}x^{n}})
.
Je voudrais si c'était la manière la plus facile de démontrer cette égalité ou s'il y avait une démonstration plus simple que je n'aurai pas vu? En tout cas, merci encore pour votre réponse.
Effectivement, j'ai vu les séries entières.
Donc en considérant l'égalité,
Or, sachant que:
On en déduit l'égalité voulue en identifiant les coefficients.
Le souci est que je n'ai jamais démontré la première égalité sur lequel tout le raisonnement se base...
On l'a peut-être fait en TD, mais je suis passé à côté...
En me renseignant sur internet, j'ai vu qu'une manière de le montrer était la suivante:
Montrer que:
Cela se démontre sans trop de souci en développant l'expression
Puis utiliser le développement en série entière de
Je voudrais si c'était la manière la plus facile de démontrer cette égalité ou s'il y avait une démonstration plus simple que je n'aurai pas vu? En tout cas, merci encore pour votre réponse.
lien entre binom{2n}{2i} et binom{n}{i}
par quietstorm » 12 Mar 2014, 22:50
J'aurais aussi une autre égalité à démontrer.
C'est le lien suivant entre
et 
:
}{2(i+j)}}}=\binom{n}{i}\bigsum_{j=0}^{k}{ \frac{\binom{k}{j}\binom{n+k}{j}}{\binom{2(n+k)}{2j}}})
avec i,j,k,n entiers et i<=n.
Encore une fois, je ne sais pas trop comment la calculer...
Je vais sans doute créer un topic pour ce sujet mais je vous demande avant car vous savez peut-être comment résoudre cette égalité.
Merci d'avance.
C'est le lien suivant entre
Encore une fois, je ne sais pas trop comment la calculer...
Je vais sans doute créer un topic pour ce sujet mais je vous demande avant car vous savez peut-être comment résoudre cette égalité.
Merci d'avance.
par Ben314 » 12 Mar 2014, 23:38
Pour le premier exo., concernant la somme en question, je sais pas s'il y a plus simple : vu la simplicité du résultat, c'est fort possible qu'il y ait une astuce qui m'ait échapée (alors que la méthode que je t'ai incité à utiliser ne demande pas vraiment d'astuce, juste de constater que la somme à calculer correspond à un coeff. du carré d'une série entière)
Aprés, pour trouver à quelle série ça corespond, on peut faire comme tu l'a fait en écrivant le D.V. en série de (1+x)^a, mais ça a un petit inconvéniant... Il faut que quelqu'un te dise à quelle série ça correspond...
Sinon, si c'est la série que tu connait et que tu cherche la fonction à laquelle ça correspond (c'est le cas ici), tu commence par vérifier que le rayon de C.V. est >0 puis tu "tripote" un peu la série pour montrer qu'elle vérifie une équa.diff. que tu résoud : c'est comme ça que j'ai retrouvé le 1/racine(1-4x)en partant de la série.
Je regarde ton deuxième exo...
Aprés, pour trouver à quelle série ça corespond, on peut faire comme tu l'a fait en écrivant le D.V. en série de (1+x)^a, mais ça a un petit inconvéniant... Il faut que quelqu'un te dise à quelle série ça correspond...
Sinon, si c'est la série que tu connait et que tu cherche la fonction à laquelle ça correspond (c'est le cas ici), tu commence par vérifier que le rayon de C.V. est >0 puis tu "tripote" un peu la série pour montrer qu'elle vérifie une équa.diff. que tu résoud : c'est comme ça que j'ai retrouvé le 1/racine(1-4x)en partant de la série.
Je regarde ton deuxième exo...
Une petite remarque : dans tes formules, j est une variable "muette", c'est à dire que les trucs à droite et à gauche du =, ils dépendent de i, de k, et de n mais pas de j donc il vaut mieux ne pas écrire "j entier" : ça donne l'impression que tu crois que ça dépend de j.quietstorm a écrit:i,j,k,n entiers >=0 je voulais dire
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par quietstorm » 13 Mar 2014, 00:39
Effectivement ma phrase concernant j peut induire en erreur.
Pour la simplicité de l'égalité, je parlais de où je trouvais ma méthode particulièrement compliquée et astucieuse. Il est effectivement beaucoup générique de faire comme toi et de trouver une équation différentielle à résoudre à partir de la série entière...
Pour la simplicité de l'égalité, je parlais de
par Ben314 » 13 Mar 2014, 00:43
J'aurais sans doute pas le temps de finir ce soir, donc je te met ce que j'ai fait :
Je part de la gauche, considère n et i comme "totalement fixés" et je regarde si la somme ne serait pas un terme de produit de séries entières et, en fait,
}{2(i+j)}}}<br />=\frac{k!(n+k)!}{(2n+2k)!}\bigsum_{j=0}^{k}a_{i,j}a_{n-i,k-j}\)
où !}{j!(p+j)!})
ce qui incite à évaluer la série entière=\sum_{j\geq 0}a_{p,j}x^j\)
qui (calculs) a un rayon de C.V. =1/4.
=4F_p(x)+4xF_p(x)+(4p-2)F_p(x))
équa diff. qui a pour solution=\text{cst}.(1-4x)^{-p-1/2})
or =a_{p,0}=\frac{(2p)!}{p!}\)
donc !}{p!})
La somme
est le coeff. en 
de F_{n-i}(x)=\frac{(2i)!(2n-2i)!}{i!(n-i)!}(1-4x)^{-n-1})
c'est à dire !(2n-2i)!(n+k)!}{i!(n-i)!n!k!}4^k)
Le terme de gauche de ton égalité est donc égal (aux inévitables erreurs de calculs prés... :hum:) à :
!}{(2i)!(2n-2i)!}\times\frac{k!(n+k)!}{(2n+2k)!}\times\frac{(2i)!(2n-2i)!(n+k)!}{i!(n-i)!n!k!}4^k\ <br />=\ \frac{(2n)!(n+k)!}{i!(n-i)!n!k!}4^k\times\frac{k!(n+k)!}{(2n+2k)!}4^k)
Pour la partie "somme", le terme de droite de l'égalité est le même que celui de gauche, mais avec i=0 donc le terme de droite vaut :
!}\times\frac{k!(n+k)!}{(2n+2k)!}\times\frac{(2n)!(n+k)!}{n!n!k!}4^k)
et.... ça marche... (miracle... :petard: )
Y'a sans doute plus simple....
Je part de la gauche, considère n et i comme "totalement fixés" et je regarde si la somme ne serait pas un terme de produit de séries entières et, en fait,
ce qui incite à évaluer la série entière
équa diff. qui a pour solution
La somme
Le terme de gauche de ton égalité est donc égal (aux inévitables erreurs de calculs prés... :hum:) à :
Pour la partie "somme", le terme de droite de l'égalité est le même que celui de gauche, mais avec i=0 donc le terme de droite vaut :
et.... ça marche... (miracle... :petard: )
Y'a sans doute plus simple....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par quietstorm » 14 Mar 2014, 00:56
Merci encore pour ta réactivité.
Je regarderai ce weekend ta démonstration!
J'aurais juste une dernière question sur la démonstration de.
Tu t'es bien servi de l'équation différentielle=2y(x)+4xy'(x))
trouvée en montrant que }{n+1}=(2+4n)\binom{2n}{n})
?
Je regarderai ce weekend ta démonstration!
J'aurais juste une dernière question sur la démonstration de
Tu t'es bien servi de l'équation différentielle
par Ben314 » 16 Mar 2014, 15:34
quietstorm a écrit:Merci encore pour ta réactivité.
Je regarderai ce weekend ta démonstration!
J'aurais juste une dernière question sur la démonstration de
Tu t'es bien servi de l'équation différentielle
Oui (et c'est la cas particulier p=0 du post çi dessus).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par quietstorm » 16 Mar 2014, 15:44
Oui, c'est ce dont je me suis rendu compte en regardant ta démonstration hier soir.
Merci encore pour ton aide!
Merci encore pour ton aide!
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