D'ou viennent les factoriels des formules de Taylor ?

[Cryptocatron-11]

Bonjour , je me pose des questions sur les formules de Taylor



J'aimerai savoir d’où viennent ces factoriels !

On nous a balancé ça comme ça l'an dernier sans nous démontrer la présence des factoriels. Donc si quelqu'un aurait une explication pas trop dure à comprendre car je suis qu'en L2 ...

Disons que le reste je le comprends bien d'une manière physique en me raccrochant avec des fonctions comme la distance la vitesse l’accélération toujours par rapport au temps.

Merci :hein:

[Mortelune]

Bonsoir, ça vient d'une intégration par partie pour la formule de Taylor avec reste intégrale (démonstration par récurrence par exemple).

[Cryptocatron-11]

Arf , Ca peut pas se retrouver avec le reste de Lagrange ? Car j'ai vu le reste de Taylor Lagrange qui se comprend bien avec le théorème des accroissements finis mais pas celui du reste intégral :triste:

Sinon j'essaierais de faire des recherches sur le reste intégral ..

[Doraki]

Ben on approxime f par le polynôme de degré n dont la valeur en 0 et toutes ses dérivées en 0 coincident avec ce que f fait.
c'est le polynôme f(0) + f'(0) x + f"(0)x²/2 + ...
Et il y a des factorielles parceque x^n/n! c'est le seul polynôme dont la valeur en 0, ainsi que toutes ses dérivées en 0, valent 0, sauf la nième, qui vaut 1.

[Cryptocatron-11]

Et il y a des factorielles parceque x^n/n! c'est le seul polynôme dont la valeur en 0, ainsi que toutes ses dérivées en 0, valent 0, sauf la nième, qui vaut 1.

Désolé mais j'ai pas du tout compris cette phrase. Pourquoi les dérivées en zéro de x^n/n! valent elles zéro ? C'est f qu'on dérive à chaque fois non ? Là j'ai pas trop cerné le truc

[Cryptocatron-11]

j'ai lu qu'il fallait passer par là



Sauf que je comprend que dalle comment on obtient cette ligne là



Pourriez vous détaillez car en faisant une IPP je tombe pas du tout sur ça et je me demande vraiment comment on s'y prend ...

Une démonstration propre et rigoureuse s'impose =)

[Skullkid]

Salut, les égalités que tu donnes sont fausses, et tes intégrandes n'ont pas la bonne forme. En revanche il s'agit bien de faire une IPP :



Et on peut poursuivre par récurrence. Les IPP successives vont faire sortir des factorielles. La démo de Taylor avec reste Lagrange ne dit pas d'où sortent les factorielles, la forme du membre de droite y est conjecturée au préalable, et c'est là que ce que Doraki a dit intervient : on veut un polynôme de degré n dont les dérivées en a valent les dérivées de f en a. Comme (x-a)^n/n! est le polynôme de degré n dont toutes les dérivées en a valent 0 sauf la n-ième qui vaut 1, si tu pars d'un polynôme quelconque, ajouter k(x-a)^n/n! à ce polynôme ça revient à ajouter k à la dérivée n-ième, sans toucher aux autres dérivées. En sommant des polynômes de type k(x-a)^n/n!, on obtient un polynôme dont on peut choisir les dérivées en a, en jouant sur les k, qui vont justement être les dérivées de f en a.

[Cryptocatron-11]

Déja ça me parle beaucoup mieux sous cette forme sauf qu'il y a un truc que je ne comprends pas. De quel droit peut on prendre t-x car j'étais persuadé qu'on devait prendre t d'ailleurs moi j'étais arrivé à cette forme là:

et j'ai un - et pas un + comme toi quand je fais l'ipp ...

J'ai fais les calculs je trouve ça

je crois que sauf erreur c'est ça ? manque plus que la conjecture ...

[Mortelune]

t-x est une fonction de t primitive de 1. Donc on peut très bien faire une IPP avec.

[Cryptocatron-11]

Pour la conjecture je trouve

[Skullkid]

Oui tu as raison au sujet du signe moins, ta dernière formule est correcte. Plus joliment, on peut l'écrire :



Pour ce qui est de prendre t->t-x comme primitive de t->1, on a tout à fait le droit de choisir la primitive qu'on veut. Et ici, comme on intègre entre a et x, il est plus intéressant de prendre la primitive qui s'annule en x, pour faire sortir un polynôme.

[Sylviel]

L'explication de Doraki est celle qui éclaire le plus :
tu approxime ta fonction f par un polynome de degré n. Tu veux que f et son approximation
ai la même valeur, et des valeurs de dérivées identiques au point 0.
Tu remarque que la base de polynome 1, X, X²/2 ... X^n/n! est telle que sa dérivée kème vaut 1 pour le kème élément, et 0 sinon. Ce qui explique la formule du développement limité.