Zeta (-1) = - 1/12

[Mathusalem]

Bonjour,

On définit la fonction Zeta de Riemann et la fonction Gamma.

J'ai dû démontrer les propriétés suivantes :



Ainsi que



Puis, j'ai dû montrer que la représentation en série pour z 1}f_{-1}(z) [/tex]

Ensuite je calcule cette limite grâce à la représentation en série de et c'est gagné.

Pour faire ce raisonnement , j'ai dû supposer que je peux inverser la limite quand z tend vers 1 et l'intégrale en (3). Je suis pas allé vérifier les conditions sous lesquelles on peut faire ça, mais apparemment ça doit marcher.

Néanmoins, je continue à avoir de la peine à saisir que cette somme ne diverge pas
En raisonnement comme une personne normale,
diverge, alors qu'ici


Où se trouve cette différence que je n'arrive pas à saisir ?

[Doraki]

Tu n"as pas montré que 1+2+3+... = -1/12.

Tu as montré qu'il existe une fonction ;) méromorphe sur C (avec un pôle simple en 1),
qui vérifie ;)(-1) = -1/12,
et qui vérifie que pour tout x > 1, ;)(x) = 1^-x + 2^-x + 3^-x + 4^-x + ...

Tu n'as montré nulle part que 1+2+3+... convergeait et heureusement puisque ça diverge.

[Mathusalem]

Je vois, mais je bloque quand même. Est-ce que ton explication implique que je n'ai donc pas le droit d'écrire :

?

Mais si je n'ai pas le droit d'écrire, la question n'a pas de sense à la base, puisque l'on me demande de calculer . J'ai apparemment de la peine à saisir la différence entre et

[Arkhnor]

Bonjour.

Qui est "on" ? Est-il quelqu'un de mathématiquement sérieux ? ...
Peut-être qu'on ne te demande pas de prouver cette égalité (qui n'a aucun sens, comme remarqué plus haut), mais juste de faire la remarque faite plus haut par Doraki.

la somme apparemment divergente

Ce n'est pas seulement une apparence.
Après, il existe des moyens de rendre convergente des séries qui sont divergentes, mais la convergence n'a pas lieu dans le sens usuel.

Tout ça pour dire qu'il serait bon d'indiquer d'où vient cet exercice, et éventuellement de donner un énoncé précis.

[Mathusalem]

Bonjour.

Qui est "on" ? Est-il quelqu'un de mathématiquement sérieux ? ...
Peut-être qu'on ne te demande pas de prouver cette égalité (qui n'a aucun sens, comme remarqué plus haut), mais juste de faire la remarque faite plus haut par Doraki.


Ce n'est pas seulement une apparence.
Après, il existe des moyens de rendre convergente des séries qui sont divergentes, mais la convergence n'a pas lieu dans le sens usuel.

Tout ça pour dire qu'il serait bon d'indiquer d'où vient cet exercice, et éventuellement de donner un énoncé précis.

Exercice de physique statistique.

L'énoncé est :
Définition de la fonction de Riemann.
a) Prouver (1)
b) Prouver (2)
c) Prouver (3)
d) Quelle valeur donne la série apparemment divergente en utilisant le prolongement analytique de la fonction .

J'ai compris la remarque de Doraki.

Mais je veux une confirmation : La fonction est définie pour s > 1 (en se restreignant à l'axe réel) par la série . On montre quelques propriétés de cette fonction (a,b,c) et ensuite on trouve que cette fonction en s = -1 admet une valeur -1/12. Dès lors, c'est un abus de langage que d'écrire ?

[Arkhnor]

Ce n'est pas un abus de langage, c'est bien pire : ça n'a aucun sens, même en commettant de graves abus.

On a une fonction définie par une relation sur le domaine A, on prolonge cette fonction sur le domaine B, mais rien ne dit que la relation valable sur le domaine A va le rester sur le domaine B.

Pour prendre un exemple un peu idiot et fixer les idées, on a la fonction logarithme définie sur , qui est définie comme la réciproque de l'exponentielle, c'est-à-dire qu'on a pour tout .
Je prolonge cette fonction à en posant (car j'en ai décidé ainsi) pour .
C'est un prolongement (qui vaut ce qu'il vaut), mais il ne vérifie plus la relation partout.

Evidemment, le prolongement de la fonction zeta n'est pas un prolongement aussi idiot, on choisit ce prolongement de manière à ce que la fonction obtenue soit méromorphe, mais c'est la seule information dont on dispose sur ce prolongement. En particulier, il n'étend pas le domaine de validité de la relation .

Et pour cause, cette série ne converge pas ailleurs.

Pour revenir à l'exercice, le but de la question d) est de faire réfléchir. C'est ce que l'on vient de faire dans cette discussion.

[Doraki]

ben dès que tu parles d'une valeur de ;) ailleurs que pour Ré(z)>1,
tu dois redéfinir ;) pour que ça ait un sens.

Mais si ça peut te rassurer, il n'y a qu'une seule continuation méromorphe possible de ;).
Donc tu peux pas faire un autre raisonnerment, prolonger par une autre fonction, et obtenir un truc différent.

[Mathusalem]

Ok, merci de ces précisions. J'étais confus vu la manière dont la question était posée. La question posée correctement aurait-été de trouver la valeur de en utilisant son prolongement, correct ? A priori on ne doit pas déduire qu'on cherche en partant de l'expression de la série que l'on donne en d).

Mais si ça peut te rassurer, il n'y a qu'une seule continuation méromorphe possible de .
Donc tu peux pas faire un autre raisonnerment, prolonger par une autre fonction, et obtenir un truc différent.

Merci, ça me rassure