Zéros

[mehdi-128]

Bonsoir ,je bloque sur l'exo suivant:

Soit U un ouvert de C.Soit g,h des fonctions holomorphes non nulles sur U.

1/Soit a c U un zéro d'ordre k de g.Montrer qu'il existe un voisinage V de a ,Vc U sur lequel g s'écrit :

g(z)=(z-a)^k .h(z) ou h ne s'annule pas sur V.Précisez la nature de h.

(je vois pas trop comment faire,pour la nature de h je dirai holomorphe)

2/Supposons que acU zéro d'ordre k a la fois de g et de h.Qu'elle est la nature de la singularité: f=g/h
(je dirai ,pas sur )

3/Soit ac U un zéro d'ordre de h tq: g(a) diff de o
Montrer que :Res(g/h , a )= lim(z->a) (z-a)f(z)

(Je dirai :h(z)=(z-a)g(z) => mais je vois pas pourquoi y a une limite)

4/Soit a de U zéro d'ordre 2 de h tq:g(a) diff de 0.

Caculer:Res(g/h , a) en fonction de g'(a) , h''(a) , g(a) h'''(a) .......

(aucune idée)

merci d'avance ....

[trust]

c'est dans le bouquin....

[mehdi-128]

c'est dans le bouquin....

Ok merci j'y jette un coup d'oeil...

[mehdi-128]

c'est dans le bouquin....

J'ai pas trouvé la réponse à mes questions ........... :mur:

[nuage]

Salut et bonne année 2008.
Pour le 1 g est holomorphe donc développable en série entière (avec un rayon de convergence non nul) au voisinage de a.
avec car est un zéro d'ordre .
La suite en découle. En particulier sur un voisinage de car les zéros d'une fonction holomorphe non nulle sont isolés.

[mehdi-128]

Salut et bonne année 2008.
Pour le 1 g est holomorphe donc développable en série entière (avec un rayon de convergence non nul) au voisinage de a.
avec car est un zéro d'ordre .
La suite en découle. En particulier sur un voisinage de car les zéros d'une fonction holomorphe non nulle sont isolés.

Bonne année a toi aussi :happy2:
Pourquoi la somme de g commence a k ?

[nuage]

Bonne année a toi aussi :happy2:
Pourquoi la somme de g commence a k ?

Parce que est un zéro d'ordre et que , par conséquence si .
Au passage je viens de me rendre compte que j'ai oublié le coefficient de .

[mehdi-128]

Parce que est un zéro d'ordre et que , par conséquence si .
Au passage je viens de me rendre compte que j'ai oublié le coefficient de .

ah ok merci beaucoup avec ca j'ai réussi!
La 2 je dirai singularité artificielle ...
Pour la 3 ,j'ai fais:

h(z)=(z-a).l(z) ou l(a) diff de 0 et l holomorphe au voisinage de a.

avec f(z)=g(z) /h(z) = g(z) /[(z-a) * l(z) ] et la je bloque .....