Voisinage : définition bizarre

[chombier]

Bonjour,

J'ai trouvé dans mon livre une définition de voisinage nouvelle pour moi :

"Soit f une fonction de R dans R. On dit que f est définie au voisinage du point a s'il existe une suite (x_n) à valeurs dans Df \ a qui converge vers a".

La définition que je connaissais est plus restrictive : de mémoire, "Soit f une fonction de R dans R. On dit que f est définie au voisinage du point a s'il existe un réel epsilon tel que ]a-eps ; a+eps[ - { a } est inclus dans Df"

D'après la première définition, une fonction définie sur Df = { 1/n, n appartient à N*} serait définie au voisinage de a. D'après la seconde, elle ne le serait pas.

Quelle est la plus acceptée couramment, et surtout, est-ce que ce que j'ai écrit est correct ?

[arnaud32]

en gros ca te dit que est adherent a

dans ton exemple en effet, avec est adherent a

d'apres ta deuxieme definition, une fonction definie sur N n'est definie au voisinage d'aucun point

[arnaud32]

il y a peut etre aussi confusion entre
1/definie au voisnage de a
et
2/ definie sur un voisinage ( ouvert) de a.

[eriadrim]

Dans l'absolue je dirai que la deuxième définition se rapproche le plus de la définition de voisinage d'un ensemble. En effet, on dit que V est voisinage de a si il existe une boule de rayon non nul centrée en a inclus dans V.

Dans R ceci veut dire qu'il existe eps > 0 tel que ]a - eps, a + eps[ inclus dans V. Ce qui rejoint bien la définition de "définie au voisinage".

Dans la première, comme l'a dit arnaud32, on parlerai plutôt d'adhérence (pas totalement non plus puisqu'on impose que la suite soit différente de a)

[arnaud32]

Dans l'absolue je dirai que la deuxième définition se rapproche le plus de la définition de voisinage d'un ensemble. En effet, on dit que V est voisinage de a si il existe une boule de rayon non nul centrée en a inclus dans V.

Dans R ceci veut dire qu'il existe eps > 0 tel que ]a - eps, a + eps[ inclus dans V. Ce qui rejoint bien la définition de "définie au voisinage".

Dans la première, comme l'a dit arnaud32, on parlerai plutôt d'adhérence (pas totalement non plus puisqu'on impose que la suite soit différente de a)

en effet plus precisement a est adherent a Df et non isole

[chombier]

Merci pour vos réponses :)

C'est plus clair : en effet la première se rapproche plus de la définition d'adhérence que de voisinage. (a est adhérent à Df pour la première, Df est un voisinage de a pour la deuxième).

Et la deuxième est plus forte que la premiere, si Df est un voisinage de a, alors a est adhérent a Df.

Dans mon livre, ils utilisent la première définition pour définir la continuité : f est continue en a si pour toute suite u a valeurs dans Df convergeant vers a, (f o u) converge vers f(a).

La propriété affirmant simplement qu'il existe au moins une suite à valeur dans Df convergeant vers a, s'assurant ainsi que la condition n'est pas vide.

Cette définition me semble compatible avec celle dite de Weirstrass (f est définie au voisinage de a et quel que que soit eps>o, il existe mu>o, |x-a| |f(x)-f(a)|
Si f est definie par l'identite sur R\Q, elle sera continué en zéro selon la premiere définition (ce qui me paraît biearre), mais pas selon la deuxième.

Ce livre est pourtant une référence (Tout en un pour la Licence 1, Dunod)

Après tout pourquoi pas, mais je suis toujours surpris, voire agacé, par ces différences de définitions d'un livre à l'autre. J'ai tendance à penser que forcément, l'un a bon et l'autre pas.

Et ça me fait perdre beaucoup de temps :(

[Mikihisa]

D'une manière complètement général on peut définir un voisinage a partie des ouvert une topologie, on dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert contenant inclus dans V.

Mais les voisinage peuvent également définir une topologie (définition par les voisinage) :
On se donne une partie V(x) de P(E) qu'on appel ensemble de voisi;)age et qui vérifie les axiome suivant :
1) pour tout x: V(x)=\= vide
2) pour tout v dans V(x), x est dans V
3) pour tout A dans P(E) , A inclu dans V donne A voisinage de x
4) si V voisinage de x il existe W voisinage de x tel que W inclus dans V et pour tout y de W : V est voisinage de y.

La dernière propriété sert a retrouver la topologie par les ouvert a partir des voisinage.


Enfin dans le cas de topologie associer a des distance, plein de choses deviennent plus "classique".

[Mikihisa]

Ah et j'ai oublier le plus important xD :
L'intersection de 2 voisinage de x est un voisinage de x.

Donc oui a fortiori, si V est voisinage de x, x est adhérent a V puisque pour tout voisinage V' de x, V inter V' est voisinage de x (donc non vide, x adhère a A ssi pour tout voisinage de x V, V inter A non vide)

[mathelot]

bonjour,

un voisinage d'un point est un eNsenmble contenant un ouvert
contenant ce point

"voisignage" n'a rien à voir avec unE distance

Quand la tologique vient d'un métrique, d'une distnce,
on peu tlaracorcir progressivement
par d_n+1==dn/2


exemple \{ x /d(x,x0)<2}= \ { x /d(n+1)(x,x0)< \4}

[mathelot]

Prendns l'exemple du bras de mer nommée "La Manche"

si vous êtres deux cargos, avec un gros moteur

méccanisé,

vous pouvez considérer comme étant très proche l'un de l'autre et dela de collision.

Si-L'un est un tanker et l'autre un bateau de plaisance, votre distance estcelle du bateau de e bateau de plaisance equi est st manilable. Maintement avec deux baterau de plaussance, vous pouver vous scinder et s"eloigné à une franche distance l'une de l'autre.

la distance est une durée que l'on évalue sur une géodésique.