Vecteurs coplanaires en 3D et tetrahedre

[Anonyme]

bonjour
voici l'exercice que j'aimerais résoudre...
on a 4 points p1, p2 p3 p4 dans un espace en 3 dimensions.
1) comment peut on déterminer si ces points sont coplanaires ie contenus dans le meme plan.
2)Supposant que ces 4 points forment un tétrahédre et en considérant un point p0, comment savoir si ce point p0 est a l'interieur du tétrahédron?

outre le coté théorique, les méthodes de résolutions "pratiques" m'intéressent également tout particulièrement car je me pose ces questions dans le cadre d'un cours de graphisme 3D.

merci d'avance.

[Galt]

Bonjour
Est ce que les points sont donnés par leurs coordonnées ?
Si oui, il y a des formules à appliquer, mais il faut le faire successivement, car d'un seul coup c'est très lourd
Je prends et de même pour les autres
Je fais les vecteurs et pareil pour
Si ces vecteurs ne sont pas proportionnels, je calcule leur produit vectoriel avec la formule (pour des vecteurs et , c'est .
J'obtiens un vecteur
Je calcule enfin le produit scalaire avec la formule, pour :

Si on obtient 0, les 4 points sont dans un même plan
Si on n'obtient pas 0, les 4 points forment un tétraèdre.
Je ne vois pas pour l'instant de méthode algébrique "simple" pour voir si un cinquième point est à l'intérieur du tétraèdre.
J'y songe

[Chimerade]

Est ce que les points sont donnés par leurs coordonnées ?
Si oui, il y a des formules à appliquer, mais il faut le faire successivement, car d'un seul coup c'est très lourd

Oui, dès qu'on passe en dimension 3...

Est-ce que calculer le déterminant suivant serait plus léger ?



S'il est nul, les quatre points sont coplanaires, sinon, ils forme un tétraèdre de volume non nul ! (Enfin, je crois bien ...)

[Chimerade]

bonjour
voici l'exercice que j'aimerais résoudre...
on a 4 points p1, p2 p3 p4 dans un espace en 3 dimensions.
1) comment peut on déterminer si ces points sont coplanaires ie contenus dans le meme plan.
2)Supposant que ces 4 points forment un tétrahédre et en considérant un point p0, comment savoir si ce point p0 est a l'interieur du tétrahédron?

outre le coté théorique, les méthodes de résolutions "pratiques" m'intéressent également tout particulièrement car je me pose ces questions dans le cadre d'un cours de graphisme 3D.

merci d'avance.

Pour info : "tétraèdre" s'écrit sans "h"

Pour la question 2 :

On peut calculer pour i=1 à 4 l'équation du plan défini par les 3 points qui ne sont pas le i-ième.

Equation de P2P3P4
Equation de P1P3P4
Equation de P1P2P4
Equation de P1P2P3

Ensuite on évalue pour chaque plan le signe de la puissance du quatrième point par rapport à ce plan :


(K est un coefficient positif qu'il n'est pas nécessaire de calculer, seul le signe de la quantité entre crochets nous intéresse)
Si cette puissance est positive, on définit

si elle est négative on définit
.
Ainsi si l'expression

est positive, cela signifie que le point (x,y,z) est du même côté du plan P2P3P4 que P1 ; et si elle est négative, cela signifie qu'il est de l'autre côté;

Et on fait la même chose pour les trois autres plans.

Pour déterminer si un point est intérieur au tétraèdre on évalue alors les quatre quantités :





Si elles sont toutes les quatre strictement positives, le point en question est intérieur au tétraèdre. Si elles sont toutes les quatre positives ou nulles, le point peut être sur une face, une arête ou un sommet selon le nombre des expressions (1,2 ou 3) qui sont nulles parmi ces quatre. Si une seule de ces quatre expressions est négative, le point est extérieur au tétraèdre.