Variations ...

par **Ptiboudelard** » 11 Avr 2009, 10:35

Bonjour ! J'ai cette fonction :

Il faut que je trouve les variations

J'ai calculé la dérivée qui donne :

Mon problème est que je ne vois pas du tout comment faire mon tableau de signes ...

Pouvez vous m'aider ?

Merci ! :-)

par **Joker62** » 11 Avr 2009, 10:51

Haileau ;)

f(x) = (1-(1/x))^x
Quand on dérive comme tu dis :

f'(x) = (ln(1-1/x) + x/x^2)(1-(1/x))^x = (ln(1-1/x) + 1/x)e^(x.ln(1-1/x))

exp(x) > 0 pour tout x
ln(1-1/x) > -1/x <=> 1-1/x > e^(-1/x) <=> exp(-1/x) + 1/x < 1

Ce qui revient à étudier exp(-X) + X :
Soit alors g(x) = exp(-x) + x
g'(x) = -exp(-x) + 1

g'(x) = 0 <=> exp(-x) = 1 <=> x = 0
Donc on a un extrema local en 0 qui vaut g(0) = 1

Pour le reste, sur R-, exp(-x) > 1 => g'(x) < 0
Sur R+, exp(-x) < 1 => g'(x) > 0

Donc 0 est un extrema global et pour tout x g(x) > 1

Donc ln(1-1/x) n'est jamais supérieur à -1/x et donc ln(1-1/x) + 1/x < 0 pour tout x

Edit : ça fait un bout de temps que je vois ton pseudo, et c'est seulement aujourd'hui que j'en ris lol :D

par **Joker62** » 11 Avr 2009, 12:37

J'suis quand même très bête d'avoir refait tout le topo :D

On a ln(1+x) <= x par concavité de ln :D
Donc ln(1-1/x) - 1/x < 0

QED :D

par **Ptiboudelard** » 12 Avr 2009, 08:16

euuuh merci joker62; En revanche, quand tu marques <= tu veux dire :

?

par **Ptiboudelard** » 12 Avr 2009, 08:26

Re Joker62: dis moi, ne te serais tu pas trompé dans ta dérivée ? ( ou bien me serais je trompé ?)

tu trouves :

Or moi je trouvais :

Mais du coup tout change par rapport à ce que tu as mis ... peux tu m'expliquer ? :-S

par **Joker62** » 12 Avr 2009, 14:32

Haileau ;)
Donc oui <= ça veut dire inférieur ou égal... La flemme de faire du tex.

Et donc oui tu as raison me suis planté un peu :)

En plus, même mon message 3 est faux :^)
Quelle misère lol :)

Bon et bien, je pense qu'on peut s'en tirer comme je l'ai fait au dessus.
Essaie de tracer les courbes pour voir si ça change de beaucoup :)

par **yos** » 12 Avr 2009, 15:28

Ptiboudelard a écrit:

L'exponentielle n'a pas d'influence sur les variations : vire-le.

positif par concavité de ln.

par **Ptiboudelard** » 13 Avr 2009, 07:36

Yos: désolé, mais je ne vois pas du tout comment tu peux passer de :

à

???

merci !

par **yos** » 13 Avr 2009, 09:12

par **Ptiboudelard** » 13 Avr 2009, 20:13

yos a écrit:

Oula! Chapeau! Dis, ça t'a sauté aux yeux? Parce que faut y penser dis donc! Merci bien pour le coup de main!

par **tigre** » 13 Avr 2009, 20:39

:id:
ssi

:id:

or on a que

:id:
x>1

g'(x)>0

par **yos** » 13 Avr 2009, 23:16

tigre a écrit:

Passage faux si x0[/TEX]

[/quote]
Là je vois pas : le produit d'un réel >0 et d'un réel >1 donne un réel >1 ???

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