Variance du det d'une matrice coeff. Rademacher iid.

[MoonX]

Bonjour,

Voici l'énoncé :
Soit des variable aléatoires de Rademacher indépendantes.
On considère la matrice dont les coeff. sont les X_ij.
Calculer et .

Ce que j'ai fais :

- Le calcul de l'espérance ne pose aucun problème. L'idée est d'utiliser la formule du déterminant (somme sur les permutations) et d'utiliser la linéarité de l'espérance + l'indépendance des X_ij pour trouver finalement 0.
- C'est pour la variance que je bloque :
Puisque l'espérance est nulle, (le carré sur le det ou sur M_n, c'est vrai dans les deux cas).
J'ai considéré la matrice au carré (et même la matrice x sa transposée...)
Le problème, c'est que l'indépendance ne permet plus de dire que l'espérance du produit est le produit des espérances, puisque dans chaque produit de la forme où (ou M_n x M_n Transposée), à cause de la formule du produit matriciel on a des doublons, donc les Y_ij ne sont pas indépendants !

Avez-vous quelques pistes ?

Je vous remercie par avance

[pascal16]

peut être par récurrence en trouvant la v.a suivi par le det.
si on développe par rapport à la 1ère colonne, on a une somme de n va des det d'ordre n-1.

l'étendue me semble être 2n!+1 car on va de -n! à n!
est ce que n'on retombe sur du Bernoulli puis du binomial avec v=(2n!+1)/4, je ne sais pas, je suis une grosse bille en v.a

Le résultat me semble être le même que pour une marche aléatoire Gauche ou Droite à partir d'une position médiane sur un axe.

[aviateur]

Bonjour
Je ne connaissais pas "Rademacher". Mais bref ça ne joue pas un rôle important dans l'exo.
Pour une telle variable X, on a et donc (c'est bien ça?)
On cherche donc
est un polynôme homogène de degré 2n en les variables aléatoires
Mais pour chaque monôme, l'exposant d'une variable présente dans ce monôme est soit 1, soit 2. Si une seule variable aléatoire de ce monôme est 1, alors l'espérance de ce monôme est zéro. (j'espère que tu vois pourquoi).
Alors les seuls monômes à retenir dans le développement (ceux qui donnent une espérance non nulle) sont les monômes de la forme
Mais cela ne suffit pas, il nous manque le coefficient qui est devant. Il faut donc aller plus loin dans le calcul.
On a

Comme je l'ai expliqué en préambule quand on passe à l'espérance on ne retient que les "bons" monômes.
Et bien, il s'agit exactement des monômes obtenus avec
Il vient donc

Soit la variance notée (avec s=1/4 si j'ai la bonne def de "Rademacher")

[MoonX]

Merci pour vos réponses respectives.
Le problème de la première méthode, c'est que la somme obtenue donne des variables aléatoires non indépendantes (tous les déterminants de plus petites tailles ont des coefficients en commun) donc impossible de passe à la variance (en tout cas, de manière simple !)

Pour la seconde :
Alors j'aurais dû effectivement préciser pour la loi de Rademacher : c'est une v.a. à valeur dans {-1,1} telle que P(X=-1)=P(X=1) = 1/2.
Donc non la variance est 1.
Merci beaucoup pour cette preuve, qui me montre un raisonnement sur les polynômes à plusieurs indéterminées auquel je n'aurais pas pensé !
Petite question : quand vous dites qu'il faut que c'est bien une petite faute de frappe ?
On a donc une variance de factoriel n.

Je vous remercie, j'ai tout compris et appris un "nouveau" truc !

[aviateur]

Rebonjour
Pour la variance c'est rien. Sur Wikipedia, la définition est différente les valeurs sont -1/2, 1/2. En fait ce qui joue en rôle c'est l'indépendance et l'espérance nulle.
Oui "s " ce n'est qu'une faute de frappe. J'écris en plusieurs fois pour ne pas perdre ce que j'écris et cela a été corrigé avant même l'envoi de ton message. D'ailleurs ça voudrait rien dire ""

[tournesol]

Bonjour aviateur .
Ton calcul direct est élégant et très instructif .
Mais il ne faut pas oublier que par récurrence c'est immédiat .
Il suffit de developper par rapport à une ligne ou a une colonne det(Xi,j) puis de calculer l'espérance du carré . L'indépendance élimine les doubles produits , et le carré tranforme les signes - en signes + .
On trouve alors n(n-1)!

[aviateur]

Bonjour, @tounesol "élégant" je ne sais pas trop.
Pour la récurrence c'est OK. Ce qui instructif en tout cas c'est d'avoir plusieurs démonstrations ou points de vue. Mais bien sûr, on utilise les mêmes ingrédients E(X)=0 et E(XY)=E(X)E(Y) en cas d'indépendance.
Alors pour la récurrence il faut rédiger un peu:
On a donc où est la matrice de taille n-1 mineure de
Alors
Pour les mêmes raisons que j'ai expliqué quand on passe à l'espérance les seuls termes non nuls vont correspondre à i=j, d'où

[tournesol]

Merci aviateur pour toutes ces précisions .