Variable iid.[Résolu]

[fourize]

bonjour !

je viens de me herter à un exercice dont j'ai une manque d'inspiration :

soient X et Y deux v.a. independantes de loi exponentielle de paramettre 1.
et U = min(X,Y); V = max(X,Y).
Determiner la loi de U et V ?

des idées ??? (merci d'avance)

F.

[ToToR_2000]

Bonjour,

D'après mes souvenirs, ce genre de loi se calcule grâce aux fonctions de répartition.

[Doraki]

Ben, par exemple, pour tout t,
P(min(X,Y) > t) = P(X > t) * P(Y > t) = ...

[fourize]

re,

Ben, par exemple, pour tout t,
P(min(X,Y) > t) = P(X > t) * P(Y > t) = ...

:doh: t'es serieux là !! l'égalité est juste ?

si oui, bah alors, il est passé ou le min ?

F.

[Finrod]

Dire que le min est plus grand que t revient à dire que les deux le sont. Par indépendance, on obtient le produit des proba donné par Doraki.

[fourize]

Dire que le min est plus grand que t revient à dire que les deux le sont. Par indépendance, on obtient le produit des proba donné par Doraki.

Merci Finrod, je crois que c'est bien compris mais j'ai quelques questions qui surgissent.

1) supposons qu'on me demande de calculer P(min(X,Y)< t ).
ai je le droit d'écrire P(min(X,Y) <t) = P(X<t)*P(Y<t) ?? Hummmm
comment faire sinon ...

2) supposons maintenant que j'ai X va de densité et Y va de densité ( indépendante de X).
est ce P(X Y) = P(X)*P(Y) = ou plutot = ??

il y a un qui :--:

[Finrod]

1) vu que tu connais la définition du minimum, tu sais que c'est faux.

Le seul moyen est d'écrire

Ce qui ne sert pas à grand chose.

2) Le P s'applique à des évènements, pas à des va. Donc ici c'est P(I) et P(J) et plutôt.
Et l'indépendance te donne l'égalité entre la double intégrale et le produit des deux intégrales simples.

[fourize]

résumons ....

1)
Le seul moyen est d'écrire
Ce qui ne sert pas à grand chose.

si je comprends bien : je peux écrire
P(min(X,Y) <t ) = 1 - P(t < min(XY)) = 1 - P(t<X)*P(t<Y) = 1 - (1-P(X<t))*((1-P(Y<t)).
bah Finrod, j'ai envie de dire Bravo ! mais pourquoi tu dis ça nous mène pas à grand chose ??

2) Le P s'applique à des évènements, pas à des va. Donc ici c'est P(I) et P(J) et plutôt.
Et l'indépendance te donne l'égalité entre la double intégrale et le produit des deux intégrales simples.

Et donc P(I J) = c'est bien ça?

[Finrod]

Pour le 1) t'a mis tous les "<" dans le même sens, une erreur d'inattention sans doute.

2) ouais. Enfin en il faut aussi faire la distinction entre l'évènement et l'intervalle d'intégration qu'il définit mais c'est un détail et j'en ai pas parlé dans le message précédant.

[fourize]

re,

Pour le 1) t'a mis tous les " t . c'est qui la même chose

- au passage, tu m'as pas repondu pourquoi tu disais "ça nous mene pas à grand chose ? "

2) ouais. Enfin en il faut aussi faire la distinction entre l'évènement et l'intervalle d'intégration qu'il définit mais c'est un détail et j'en ai pas parlé dans le message précédant.

je vois ça avec mon exercice, et je poserai des questions s'il en a une .

En tout cas, un grand merci Comme ça! Finrod pour votre aide

[fourize]

Bonsoir, voilà ou j'en suis:

pour le max:

je fais P(max(X,Y)
pour le min :
j'ai P(min(X,Y) < t) = 1 - P(t < min(X,Y)) Et j'ai tout de suite envie de continuer comme tu disais [Finrod]. mais tu m'as pas repondu pourquoi ça nous mène nulle part ?

d'autre idée ...

[Finrod]

Ah ben c'est juste que la loi est caractérisé soit par la fonction de répartition F, et aussi par 1-F. Donc autant se contenter de calculer la plus simple.

Donc ça mène à des calculs inutiles supplémentaires. Mais pour s'entrainer, pourquoi après tout, c'est vrai. Autant le vérifier par soi même, à la main.

[fourize]

Ah ben c'est juste que la loi est caractérisé soit par la fonction de répartition F, et aussi par 1-F. Donc autant se contenter de calculer la plus simple.
Donc ça mène à des calculs inutiles supplémentaires. Mais pour s'entrainer, pourquoi après tout, c'est vrai. Autant le vérifier par soi même, à la main.

OK, ça marche.

merci pour ton aide. si tu ne vois pas d'autre bêtises, je considère le sujet resolu !