Une variable aléatoire c'est une fonction définie sur l'espace des evènements que tu observes:
)
L'esperance quand elle existe vaut alors:
= \sum_{w \in \Omega} X(w)p(w))
Tu noteras que p(w) ne dépend pas du X que l'on a défini.
une autre version est de sommer directement sur les valeurs prises par X soit:
= \sum_{k \in E} kp(X=k))
et là oui les p(X=k) dépendent de la variable X que l'on a definie.
Mais les p(w) de la premiere formule eux sont communs a toutes les variables X puisqu'il sont définie par rapport a
.
On dit que (
,P) est un espace de probabilités(on rajoute la tribu des évènements normalement).
Et ça on y touche pas, c'est defini par rapport a l'experience et cela nous fourni les p(w).
Apres dans un second temps tu as tout le loisir de defiir des variables aléatoires X défini sur
ou
=P(X^{-1}(k))=P(\{w|X(w)=k\})= \sum_{w \in X^{-1}(k)}\,p(w))
sur deux lancés de pile ou face, je peux definir une infinité de fonctions prenant une infinité de valeurs differentes sur les couples de
: (P,F) (F,P) (F,F) (P,P) .
Ce qui est aléatoire ce n'est pas la valeur de la variable aléatoire mais l'espace sur lequel elle est définie.
L'espace d'arrivée lui donne une signification a ce que l'on cherche a évaluer et n'est pas pris au hasard mais intelligemment en fonction de ce que l'on cherche a modeliser.
Si je joue a un jeu ou un pile me rapporte 2 et un face 0, je définirai la variable aléatoire X((P,F))=2 X((F,P))=2 X((F,F))=0 X((P,P))=4 mais si je joue a un jeu ou c'est le face qui rapporte 3 et le pile 0 alors je définirai la variable Y: Y((P,F))=3 Y((F,P))=3 Y((F,F))=6 X((P,P))=0
L'esperance de ces variables ce ne sont alors que les moyennes qu'elles prennent sur l'espace des évènements, la premiere vaut en moyenne 2 et la deuxieme en moyenne 3. La premiere rapporte des points quand on tombe sur des piles la deuxieme quand on tombe sur des faces.
Mais les deux dépendent de la meme experience qui est je lance deux fois une piece de monnaie. A chaque probleme on aura definie les variables adequates pour repondre au "jeu", a la "question" ou au "probleme" que l'on cherche a resoudre.
Sur ce probleme je pourrais aussi definir la variable S = au nombre de piles ou la variable S'= au nombre de face. Chacune suit une loi binomiale de paramètre p=1/2.
Je pourrais aussi definir deux variables qui vallent respectivement soleil quand je tombe sur pile au premier lancé et chameau quand je tombe sur un face au deuxième lancé et vallant chacune le desert si non.
Le probleme sera pour calculer leur 'esperance et je ne vois pas bien quel espace biologique pourra -t-on créer ou resulterait quelquechose de l'accouplement d'un chameau avec un desert ou bien du melange du desert du soleil et d'un chameau.
Une oasis peut-etre.
