Variable Aléatoire

[CaramelCaramel]

Je ne comprend vraiment rien a cet exercice :mur: :mur: :mur: !!!

Une compagnie d'assurance propose des assurances vie a 10 000 personnes. Chaque assurance verse
une prime annuelle de 10 euros et la probabilite de son deces pendant l'annee est consideree
comme etant de 0,006. Pour chaque deces la compagnie verse aux ayants droit une somme de
900 euros. On admet que les deces sont independants les uns des autres. Quelle est la probabilite
que la compagnie soit deficitaire a la n de l'annee? Quelle est la probabilite que son benefice
soit superieur a 50000 euros?

:help: :help: :help: :help: :help: :help: :help: :help: :help:
Merci d'avance

[mr_pyer]

Soit le nombre de décès. Quelle est la loi de ?
Ensuite tu constateras que le calcul exact de cette loi est impossible, que tu devras l'approcher par autre chose.

[CaramelCaramel]

X suit une loi de binomial ?? Faut-il l'approcher avec une loi normal ?

[CaramelCaramel]

Comment savoir definir la variable aléatoire? Par exemple ici on a pris X le nombre de deces, mais comment avez vous fais pour le deduire ?
Comment reconnaitre une loi de probabilité selon un enoncé ???

[Robic]

Une variable aléatoire suit une loi binômiale lorsqu'elle représente le nombre de "réussites" dans une liste indépendante de schémas de Bernoullli (revoir le cours !). La seule difficulté est donc de reconnaître un schéma de Bernoulli. Un schéma de Bernoulli, c'est un truc aléatoire qui ne peut avoir que deux issues ("réussite" et "échec").

Exemple : être vivant ou mort au bout d'un an est un truc aléatoire (du point de vue de l'assureur) qui n'a que deux issues (les morts-vivants sont exclus de la modélisation :lol3: ).

Donc si les états (vivant ou mort) des assurés sont indépendants les uns des autres (c'est dit dans l'énoncé !), le nombre de vivants (ou le nombre de morts) suit une loi binômiale.

Tu dois être capable de la reconnaître !

[Frede]

Ce pb n'est pas très compliqué, ce qui me trouble, c'est de lire que le calcul par la loi binomiale est impossible.
La compagnie fait rentrer 10000 € par ans. Pourqu'elle soit déficitaire, il faudrait un nombre de décés supérieur à: 100000/900 soit 111.

Probabilité que la chose se produise= nbre de façons de trouver 111 personnes parmi 10000 (soit combi (111,10000) x probabilité que 111 meurent (0.006^111) x probabilité que 9889 autres restent en vie (0.994^9889)

Binomiale (111,10000,0.006)=Combi(111,10000) x (0.006^111)*(0.994^9889)

= 3.07 x (10^263) X 2.37 X (10^-247) X 1.425 X (10^-26)

= 3.07 X 2.37 X 1.425 X (10^-7) = 10.368 /10 000 000 000

soit environ 1 chance sur un milliard.

Je vérifie: le tableur d'Open Office me dit que Loi.binomiale(1;10000;0.006;111) vaut 4.48 x 10^-25. Je pense que je m'en sers mal.

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Je reprends mon message le lendemain matin. J'étais un peu fatigué hier soir, j'avais bien vu que la réponse à la question était: il faut un nombre de décés supérieur à 111 et je me suis mis à calculer la probabilité qu'il soit égal à 111.
Il faudrait en fait faire le même calcul pour les valeurs 112,113,114,115, etc... jusqu'à 10000 et faire la somme de tout çà. Mr_pyer avait raison. On ne peut y arriver de cette façon. Il faut bel et bien passer par la loi normale.

J'essaye tout de même cette façon de faire en écrivant un petit programme en Pascal. Il me dit que la probabilité d'avoir entre 0 et 111 décès est: 0.999 999 998 8, donc la probabilité d'avoir plus de 111 décès serait de 0.000 000 001 2, soit à peine un peu plus d'un milliardième. Surprenant, mais c'est bien ce que donne le calcul.

Pour faire le calcul avec la loi normale, je rappelle que la moyenne de la loi binomiale, c'est np soit ici 60 et l'écart quadratique moyen, c'est Racine carrée(np(1-p)) soit racine(60 x 0.994) soit 7.72.

La loi binomiale peut-elle être remplacée par la loi normale ? Pour cela, il faut que
n>=30 (ici n vaut 10000)
np>15 (ici np vaut 60)
np(1-p)>5 (ici np(1-p)=59.64)
On peut tenter le coup.