Valuation p adique d'un entier

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit a, b 2 entiers relatifs avec b non nul. On suppose que a et b sont premiers entre eux.

J'ai l'égalité :

Je dois calculer valuation 2-adique de l'entier mais je sais pas comment faire.
Idem pour

[hdci]

Connaissez-vous la définition de "valuation p-adique" ?

De plus, n'y a-t-il pas une erreur d'énoncé ? Car cela voudrait dire que est rationnel...

Ou alors l'objectif de l'énoncé est un raisonnement par l'absurde ? Indiquez-le alors, il est plus simple de comprendre l'objectif des questions.

PS je ne comprends pas bien la dernière question : si on connaît la valuation 2-adique de , et si on a , quelle pourrait donc bien être la valuation 2-adique de ...?

A moins que ce ne soit la valuation 2-adique de ?

[aviateur]

Bonjour

mais je sais pas comment faire

Cela devient récurrent. Et c'est pas étonnant, puisque tu ne cherches pas à trouver par toi même.
Quand on ne sait pas faire on fait des essais :
Prend des exemples a=2, 3, 5 6, 18.... n'importe quoi.
Répond à la question. Quel est dans c'est cas la valuation de 2 dans a^3?
Même travail avec 2b^3...

[mehdi-128]

Connaissez-vous la définition de "valuation p-adique" ?

De plus, n'y a-t-il pas une erreur d'énoncé ? Car cela voudrait dire que est rationnel...

Ou alors l'objectif de l'énoncé est un raisonnement par l'absurde ? Indiquez-le alors, il est plus simple de comprendre l'objectif des questions.

PS je ne comprends pas bien la dernière question : si on connaît la valuation 2-adique de , et si on a , quelle pourrait donc bien être la valuation 2-adique de ...?

A moins que ce ne soit la valuation 2-adique de ?

C'est pour montrer que est irrationnel en raisonnant par l'absurde.

En fait il faut comparer les valuations p adique de et et tomber sur une contradiction.

Pour moi la valuation p adique c'est nombre entier n c'est la puissance d'un nombre premier p dans la décomposition en facteurs premiers du nombre entier n.

[mehdi-128]

Bonjour

mais je sais pas comment faire

Cela devient récurrent. Et c'est pas étonnant, puisque tu ne cherches pas à trouver par toi même.
Quand on ne sait pas faire on fait des essais :
Prend des exemples a=2, 3, 5 6, 18.... n'importe quoi.
Répond à la question. Quel est dans c'est cas la valuation de 2 dans a^3?
Même travail avec 2b^3...

Si alors donc
Si alors donc
Si alors donc
Si alors donc
Si alors donc

On constate que 2 apparait dans la décomposition en facteur premier que si a est pair. Pas trouvé de formule générale pour la valuation p adique.

[hdci]

Avec ces quelques exemples : ne pouvez-vous pas déduire que si a est impair la valuation 2-adique de est nulle, et sinon elle est au moins égale à 3 ?

A défaut de trouver "une valeur exacte" c'est déjà un premier pas.

Il n'est évidemment pas question de trouver une valuation 2-adique universelle puisque cela va évidemment dépendre de .

Cela n'incite-t-il pas à déterminer la valuation 2-adique de en fonction de celle de ?

PS. Je trouve l'orientation du raisonnement un peu complexe. Il suffit de voir que si est pair alors on sait dire quelque chose sur la parité de , donc de remplacer par une formule et en l'élevant au cube voir que sera également pair - le tout sans parler de valuation 2-adique.

[arnaud32]

et
ou les sont les nombres premiers ranges en ordre croissant


si alors et donc 3 divise 1 ....

[aviateur]

Bref
la valuation c'est 3.

[mehdi-128]

et
ou les sont les nombres premiers ranges en ordre croissant


si alors et donc 3 divise 1 ....

Merci super clair Je retiens votre méthode pour des futurs exos !

Du coup où
où

C'est ça ?

[mehdi-128]

Bref c'est dur dur la culture.
la valuation c'est 3.

En effet, j'ai fait une grosse erreur d'étourderie

Par contre, je me demandais quel était le rapport entre le résultat général trouvé : où et le fait que l'on trouve la valuation nulle pour a pair et égale à 3 pour a impair.

[aviateur]

Je crois pas que c'est une autre méthode. C'est la même chose que ce l'on essaye de te faire comprendre sauf que c'est dit directement différent avec une écriture symbolique plus compliqué par rapport à la façon dont tu poses les questions.

[arnaud32]

pour etre tres precis par définition:

[hdci]

Par contre, je me demandais quel était le rapport entre le résultat général trouvé : où et le fait que l'on trouve la valuation nulle pour a pair et égale à 3 pour a impair.

Qu'est-ce que cela veut dire ? Rien à voir avec ce qui a été écrit avant ; pas sûr que vous ayez bien compris.

Si la valuation 2-adique de est alors celle de est .
En particulier, si est impair, sa valuation 2-adique et 0, et donc celle de est aussi 0.

Sans utiliser de gorsse formule symbolique : décomposition en facteur premier,


où sont des nombres premiers distintcs deux à deux et différents de 2, et des entiers naturels (en général non nuls, mais ce n'est pas bien grave s'ils sont nuls la non-nullité c'est uniquement pour dire que l'écriture est unique)

Donc multiplié par un gros machin qui ne comporte que des nombres premiers différents de 2 : d'où la valuation 2-adique de .

Il y a beaucoup plus simple que cela :

• si est impair, alors et on a
  et est impair.
• Si est pair alors et on a
  
• Autrement dit, est pair ssi est pair, et alors a^3 est divisible par 8
• On remplace dans : cela fait soit
• même raisonnement : donc b est pair
• est pair, est pair et et sont premiers entre eux : absurde.

Avant de vous lancer dans les p-adique, il faut commencer par maîtriser cette simple démonstration.

Je vous suggère de vous entraîner à faire de même pour montrer que est irrationnel.

[mehdi-128]

Pourquoi pour l'unicité, il faut que les soient non nuls ?

J'ai relu 10 fois votre démonstration, mais j'ai pas compris

En fait je comprends jusque là :
si est impair, alors et on a
et est impair.
[*]Si est pair alors et on a


Après je suis perdu.

[hdci]

Pour l'unicité : voici 3 écritures différentes de 6. Vous auriez pu les trouver vous-même.

J'ai relu 10 fois votre démonstration, mais j'ai pas compris

En fait je comprends jusque là :
si est impair, alors et on a
et est impair.
[*]Si est pair alors et on a


Après je suis perdu.

Qu'est-ce que vous ne comprenez pas

• le fait que pair équivaut à pair ?
  Relisez bien alors la "démonstration que vous avez comprise" : si est pair est pair, si est impair est impair. Cela ne signifie-t-il pas que est pair si et seulement si a est pair ? C'est de la logique élémentaire.
• Le fait que ? C'est la définition d'un nombre pair. C'est vrai, je n'ai pas dit "il existe un entier n tel que a=2n", mais c'est tellement implicite...
• Le fait que ? C'est du simple calcul après avoir remplacé par
• Le fait que est pair ? Si , peut-on dire que fois quelque chose, donc que est pair ?
  Or on a dit pair ssi pair, ne peut-on pas remplacer par dans cette phrase ?
• La conclusion ? et sont premiers entre eux. Or a est pair et b est pair. Ils ont donc un facteur commun, c'est 2. Ils ne sont pas premier entre eux. Etre à la fois premier et pas premier, c'est un peu absurde, non ?

[mehdi-128]

L'écriture :

n'est pas unique ?

J'ai compris la démo par contre, on raisonne sur a pair pour obtenir la contradiction...

Ah j'ai compris je crois : si a est impair ça donne impair mais ce qui est pair donc impossible alors a est forcément pair.

[mehdi-128]

J'essaie de reproduire votre méthode pour

C'est équivalent à :

Si a pair : soit
donc est pair.
Alors donc mais 2 et 3 sont premiers entre eux donc donc contradiction avec a et b premiers entre eux.

Si a impair :
Soit donc est impair.

Mais je trouve pas de contradiction....

[pascal16]

avec racine(3), il faut utiliser le nombre 3 comme diviseur, pas 2

[hdci]

L'écriture :

n'est pas unique ? .

Est-ce que l'écriture et l'écriture sont exactement pareilles ? Le résultat est le même bien sûr, mais l'écriture est différente : dans un cas il n'y a pas le produit par , dans l'autre il y a le produit par , donc on ne peut pas dire que les deux écritures sont identiques. Mais ceci n'est qu'un petit détail.

Dans , comme le dit pascal16, on ne recherche pas la parité : ici on voit que est divisible par 3. Il s'agit alors de montrer que si est divisible par 3, alors a est aussi divisible par 3

[mehdi-128]

Alors on a :

Donc 3 divise alors d'après le lemme d'Euclide.

Alors tel que :

Ainsi :

Soit : donc : 3 divise enfin

Contradiction avec a et b premiers entre eux !

C'est juste ?