DM urgent probabilité

[megane.buttel]

Exercice N°3 On s'intéresse à un système constitué de n= 100 composants électroniques. On suppose que les durées de fonctionnement de ces n composants électroniques (mesuré en milliers d'heures) sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre 1/3.
Ces composants étant numérotés de 1à n, on note Ei la durée du fonctionnement du composant n°i, pour tout i appartenant {1,....., n}. Tout les composants sont mis en fonctionnement à un même instant que nous notons t=0, puis on observe l'évolution du système à partir de cet instant. Ainsi par exemple, pour t> ou =0, le composant n°i fonctionne à l'instant t si et seulement si Ei> ou =t.

1. Quelle est la probabilité que le composant n°1 fonctionne à l'instant 1?
2. Pour un t> ou =0 fixé, sachant que ce composant fonctionne à l'instant t, quelle est la probabilité qu'il fonctionne à l'instant t + 1? Commenter

Dans la suite, pour tout t> ou =0 et i appartenant {1,....., n}, on note Xi(t) la variable aléatoire qui vaut 1 si le composant n°i fonctionne à l'instant t et 0 sinon. On note N(t) le nombre de composant fonctionnant à l'instant t.

3. Quelle est la loi de Xi(t) ?
4. Montrer que pour tout t> ou =0 fixé, les variables Xi(t),.......,Xn(t) sont indépendantes.
5. Exprimer N(t) en fonction de Xi(t),.......,Xn(t).
6. Donner, en fonction de n et de t, la loi, l'espérance et la variance de N(t).
7. Donner une valeur approchée de la probabilité qu'au moins 5 composants fonctionnent à l'instant t=8.
8. Donner une valeur approchée de la probabilité qu'au moins 50 composants fonctionnent à l'instant t=2.

Le système est remis à neuf à l'instant t=10. Cela signifie qu'à cet instant, l'état de fonctionnement du système est vérifié et que chaque composant ne fonctionnant plus est réparer par un composant neuf (les autres composant ne sont pas remplacés). Le coût de l'opération de vérification de l'etat de fonctionnement du système s'élève à 143 euros. Par ailleurs, pour chaque composant ne fonctionnant plus, le coût de remplacement de ce composant s'élève à 11 euros. On note C la variable aléatoire associée au cout total de l'opération de remise à neuf du système.

9. Exprimer c en fonction de N(10).
10. Calculer l'espérance de la variance de C.




moi je ny arrive pas dutout :mur:

[Sylviel]

Tu sais quand on s'attelle a un dm ou un ds il est bon de lire l'enonce, il en va donc de meme pour un forum (c'est vrai que c'est marque en rouge, donc on pourrait le louper : "Pas de "Urgent", de "Vite" , de "Aidez moi", "DM pour demain",...:")

Par ailleurs un petit mot pour dire bonjour ou autre ca fait toujours plaisir.

1) Quel est la loi de la duree de fonctionnement du composant 1 ? Comment formuler le fait qu'il soit encore en vie a l'instant 1 ?
2) Formule de maniere probabilistique la question. Que connais tu comme propriete des lois exponentielles ?