Salut,
Deux remarques :
-Si ton lemme est bien celui que tu nous as donné avec les fonctions de
dans
, tu n'as pas le droit de l'utiliser, simplement parce que ta fonction part de ]0,1[.
-Tu pars vraiment trop loin...
Bon reprenons ta méthode : le point qui foire étant l'utilisation de ton lemme il faut s'en passer ou démontrer un truc similaire.
On a le résultat suivant : pour toute suite
_n)
dans ]0,1[ convergeant vers 0 l'image par f de w converge vers une certaine limite l(w). Nickel.
Prenons deux suites de cet acabit. On les appelle comme tu l'as fait
et
leur image converge vers l(x) et l(y) respectivement.
Comme ces deux suites convergent vers 0, si j'appelle
le sup de
et de
, z est une suite convergeant vers 0. Et mieux, x et y sont des suites extraites de z. Sauf que f(z) est une suite convergeant vers l(z). Donc en particulier, l(y)=l(x)=l(z) en tant que limites de sous-suites.
Maintenant une autre méthode que je trouve personnellement bien plus simple :
f est uniformément continue sur ]0,1[. Donc en particulier, si on pose
il existe
, disons
pour un certain grand N tel que pour tout x,y dans ]0,1[,
, |f(x)-f(y)|<1.
Donc maintenant j'appelle
les points
pour 0<n<N.
Et disons que je pose B=f(1/2)
Là on a presque fini puisque si x est dans ]0,1[, j'appelle g(x) le n tel que
est le plus proche de lui (à formaliser avec un min de blabla). Et
-B|\leq n)
(ou n-1, ou n+1) par inégalité triangulaire et construction des points d'interpolation.
J'ai détaillé pour que tu comprennes, mais en vrai, cette démo c'est juste un dessin.
