Une tribu de R^2

[klaus2010]

Bonjour,
J'ai lu que B(R)*B(R) n'est pas une tribu sur R^2 parce que elle n'est pas stable
au passage au complémentaire ou le réunion dénombrable... un exemple s'il vous plait .....
merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Si B(R)*B(R) désigne l'ensemble des parties de R² de la forme AxB où A et B sont des boréliens de R, alors il est facile de voir que, par exemple, la réunion des parties [0,1]x[0,1] et [1,2]x[1,2] n'est pas de la forme AxB (fait un dessin !) ce qui montre que B(R)*B(R) n'est pas stable par réunion finie...
(le complémentaire de [0,1]x[0,1] n'est pas non plus de la forme AxB)

En résumé, le problème est que la réunion (ou le complémentaire) de rectangle(s) n'est en général pas un rectangle !!!

[Nightmare]

On peut par contre s'intéresser à la plus petite tribu qui contient ces rectangles mesurables !