Une suite (u_n)

[Axiom]

Bonjour à tous... :happy:

Je travaille actuellement à mes heures perdues sur quelques loisirs mathématiques et je suis tombé sur cet énoncé assez farfelu (:space:) et qui me résiste tant bien que mal, c'est pourquoi je sollicite votre aide... :lol3:

Soit la suite définie telle que :

Les questions demandées sont les suivantes :

/*
* 1°/ Calculer .
*
* 2°/ Déterminer le nombre d'indices inférieurs ou égaux à tels que (où ).
*
* 3°/ Soit et , calculer .
*/

La première question se fait facilement par récursivité, on trouve , j'ai établie l'algorithme suivant en C++ :

Code: Tout sélectionner

int suite (long n) {
   
   if(n==0)
      return 0;
      else {
         if(n % 2 == 0)
            return suite(n/2);
         else
            return 1 - suite(n/2);
      }
   
}

Pour le reste, je vous avoue que c'est assez le flou... :hein:
Il me semble que les et les et bien d'autres choses s'observent, mais je peine à dégager une relation de récurrence de tous ces éléments.

Pour la question 2°/, apparement, il semblerait qu'il y ait indices tels que soit égale à 0, mais je n'arrive pas à déterminer quand on se retrouve dans un cas où le '± 1' est efficient ; par exemple, pour , on trouve 50 indices où et pour , on en trouve . Je n'ai aucune manière de le démontrer mais la relation semble assez se vérifier d'après mon algorithme...

Quant à la dernière question, mon algorithme me montre bien que si est pair, et sinon , mais là encore, je ne sais pas comment le démontrer.. :hein:

Merci aux intervenants éventuels nous faisant partager leurs idées et raisonnements... :id:

[Ben314]

Salut,
Avec un peu d'habitude, il "saute aux yeux" que Un=1 ssi il y a un nombre impair de 1 dans l'écriture de n en base 2.
Donc, par exemple, 1990=1024+512+256+128+64+4+2 donc 7 "un" dans l'écriture en base 2 : u_1990=1.

[t.itou29]

Salut,
J'ai trouvé 2 ou 3 trucs mais je les ai pas tous prouvés:
Déjà (simple mais ça permet de calculer rapidement à la main les premiers termes)
Et il semble que ssi l'écriture en base 2 de n contient un nombre pair de 1, pour l'instant j'ai aucune idée pour le prouver...

EDIT: mince grillé par Ben ! :ptdr:

[Ben314]

...pour l'instant j'ai aucune idée pour le prouver.

Vu que Un est définie par récurrence, tu as pas le choix...

[Axiom]

Merci à vous deux en tout cas pour ces constats éloquents.. :we: . C'est vrai qu'une fois ces résultats établis, ça saute aux yeux... :ptdr: Mais je vais devoir encore faire des progrès je pense si je veux que l'évidence vienne à mon esprit sans l'aide de personne... :marteau:
Merci pour votre aide en tout cas.. :happy: