Une primitive
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nix64
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par nix64 » 29 Déc 2018, 21:01
Bonjour
je cherche cette pimitive
voila mon essai
mais dans la correction il n as pas du tout trouver les mêmes intervalles sur laquelle la primitive est définie:
s' ils vous plait quelle est l erreurs que j ai commise et pourquoi les intervalles qu il a mis sont ouvert ??
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 29 Déc 2018, 21:51
Salut,
Pour enlever la valeur absolue, on cherche les intervalles où
)
est positif.
 \pi)
 \pi)
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rcompany
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par rcompany » 31 Déc 2018, 12:41
On peut résoudre l'intégrale
=\int \!\sqrt{1-\cos{x}}\,dx)
en utilisant le changement de variable
, mais il faut se souvenir que
})
est définie de
sur
. Or il faut que
parcoure aussi
. (
a pour période
, donc il suffit de l'étudier sur
pour couvrir
en entier).
On a donc:
Et donc
=\left\lbrace\begin{matrix}<br /> \int\sqrt{1-\cos{x}}\;dx= \int \sqrt{1-t}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int \frac{-1}{\sqrt{1+t}}\;dt=-2\sqrt{1+t}=-2\sqrt{1+\cos{x}} &\text{ si }0\leq x\leq \pi \\ \\ \int\sqrt{1-\cos{x}} \;dx= \int \sqrt{1-t}\cdot -\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int \frac{1}{\sqrt{1+t}}\;dt=2\sqrt{1+t}=2\sqrt{1+\cos{x}} &\text{ si }\pi\leq x\leq 2\pi<br />\end{matrix}\right.)
que l'on peut exprimer en fonction de
pour retrouver le résultat de l'autre méthode:
=\left\lbrace\begin{matrix}<br /> -2\sqrt{1+\cos{x}}=-2\sqrt{2\cos^2{\frac{x}{2}}}=-2\sqrt{2}|\cos{\frac{x}{2}}| &\text{ si }0\leq x\leq \pi \\ \\ 2\sqrt{1+\cos{x}}=2\sqrt{2\cos^2{\frac{x}{2}}}=2\sqrt{2}|\cos{\frac{x}{2}}| &\text{ si }\pi\leq x\leq 2\pi<br />\end{matrix}\right.)
donc
=-2\sqrt{2}\cos{\frac{x}{2}})
=2\sqrt{2}(-\cos{\frac{x}{2}})=-2\sqrt{2}\cos{\frac{x}{2}})
=-2\sqrt{2}(-\cos{\frac{x}{2}})=2\sqrt{2}\cos{\frac{x}{2}})
=2\sqrt{2}\cos{\frac{x}{2}})
soit au final
=\left\lbrace\begin{matrix}<br />-2\sqrt(2)\cos{\frac{x}{2}} &\text{ si }0+k2\pi\leq x\leq 2\pi+k2\pi\\ \\2\sqrt(2)\cos{\frac{x}{2}} &\text{ si }2\pi+k2\pi\leq x\leq 4\pi+k2\pi<br />\end{matrix}\right.)
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