Une chaîne

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit la chaîne définie par et , .Calculer la limite de chaîne .

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

Un simple regard sur a(n+1) / an nous dit que ça converge, vu que 0 < a(n+1) < an, et donc qu'il y a bien une limite.

[nodgim]

ça converge vers 0, il suffit de regarder la limite quand a(n+1) = an.

[Ben314]

Salut,

ça converge vers 0, il suffit de regarder la limite quand a(n+1) = an.

Non, pas directement :
Si alors ce qui ne te donne aucune information sur .

Par contre, ça, je pense que ça marche :

Ce qui montre que la suite est décroissante et minorée par 0 donc converge vers un certain .
Mais ça montre aussi que ce qui signifie que la série de terme général est convergente (vers ).
Or c'est une série à terme positifs et, si était non nul, on aurait qui est le terme général d'une série divergente ce qui est évidement impossible.

[pascal16]

Bien vu Ben. Le théorème du point fixe, c'est direct pour les suite telles que Un+1=f(Un).
ici, si on considère, converge vers y=x, en gardant une dérivée positive toujours inférieure à 1.

[edit] re bien vu Ben pour l'explication de la convergence

[Ben314]

En fait, j'ai l'impression qu'on s'en sort aussi en étudiant qui vérifie ce qui, sauf erreur, implique que la suite tend vers .
Et ça montrerais bien plus précisément que .

[Dacu]

Bonjour à tous,

La première idée:
Comment pouvons-nous résoudre l'équation de récurrence ?
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La deuxième idée:
Quels sont les extrêmes de la fonction ?



Cordialement,

Dacu

[pascal16]

de mémoire : si on considère, converge vers y=x, en gardant une dérivée positive toujours inférieure à 1.

Fn est à valeur dans [0;1[
Fn est en dessous de y=x
0<Fn' <1 sauf en 0, ce qui donne une décroissance sauf pour ao=0.
ao est le max de la suite par décroissance, la limite étant le min et elle vaut 0